2024年5月15日发(作者：列车时刻表车次查询)

3.2.1 对数

自我小测

1．如果lg2＝

a

，lg3＝

b

，则

lg12

等于________．

lg15

2．下列结论中，正确的序号是________．

①lg2·lg3＝lg5；②lg3＝lg9；③

5

2

log

5

1

2



1

b

；④若log

a

M

＋

N

＝

b

，则

M

＋

N

＝

a

(

a

＞0

2

且

a

≠1)；⑤若log

2

M

＋log

3

N

＝log

2

N

＋log

3

M

，则

M

＝

N

.

3．(1)已知log

a

2＝

m

，log

a

3＝

n

(

a

＞0且

a

≠1)则

a

(2)若

a

＞0，

a

lg

x

2

m

－

n

＝________；

2

3

4

，则

log

2

a

________；

9

3

(3)若5＝25，则

x

＝________.

4．已知lg(log

2

x

)＝0，

log

7

[log

3

(log

1

y)]0

，则log

x

y

＝________.

2

5．已知

1

a

log

m

7

a

，log

n

8＝

b

log

n

56(

m

、

n

＞0且

m

≠1，

n

≠1)，则

a

＋

b

＝________，

log

m

56

7

________.

6．(1)已知11.2＝1 000,0.011 2＝1 000，则

(2)若2＝5＝10，则

ab

ab

11



________.

ab

11



________.

ab

7．求下列各式的值：

(1)2log

5

25＋log

2

64－2 011log

π

1；

(2)log

15

5·log

15

45＋(log

15

3)；

2

111

log

7

log

5

；

258149

1

lg20

()

lg0.7

； (4)

7

2

(3)

log

3

(5)

lg5lg8000(lg23)

2

lg0.06lg6

；

(6)

(log

2

3log

8

9)(log

3

4log

9

8log

3

2)

．

8．2010年我国国民生产总值为

a

亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生

产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)

1

2

参考答案

1.

2ab

解析：∵lg2＝

a

，lg3＝

b

，

1ba

∴

lg12lg3lg4lg32lg22ab

.

lg15lg3lg5lg31lg21ba

2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log

a

(

M

＋

N

)

＝

b

时，有

M

＋

N

＝

a

，∴④错；由log

2

M

＋log

3

N

＝log

2

N

＋log

3

M

，得log

2

M

－log

2

N

＝log

3

M

－

log

3

N

，即

log

2

3．(1)

b

MMM

log

3

1

，即

M

＝

N

时成立，∴⑤正确． ，上式只有当

NNN

4

mn

(2)3 (3)100 解析：(1)∵log

a

2＝

m

，log

a

3＝

n

，∴

a

＝2，

a

＝3.

3

∴

a

2mn

a



n



aa

n

m



a

m



2

2

2

4

.

33

42

4

，∴

log

a

.

93

9

(2)法一：∵

a

＞0，

a

∴

2log

a

2

3

2221

.

，即

log

a

.

，∴

log

2

a

3333

3

2

3

2

1

2

log

a

3

3.

2

2



2





4



2



法二：∵

a

＞0，

a







.

∴

log

2

a

3

log

2



2

，∴

log

2

a2

∴

3



9



3



3

33



3



2

log

2

a3

3

(3)∵5＝25＝5.∴lg

x

＝2，

x

＝10＝100.

4．－3 解析：∵lg(log

2

x

)＝0，∴log

2

x

＝1，∴

x

＝2，

lg

x

22







又∵

log

7



log

3



log

1

y





0

，





2







3





1



1

y



1

，∴

log

1

y3

，∴

y





.



2



8

2



1

3

∴

log

x

ylog

2

log

2

23

.

8



∴

log

3



log

1



2

5．1 56 解析：由换底公式得

log

m

7

log

56

7a

.

log

m

56

3

b

log

n

8

log

56

8

，

log

n

56

∴

a

＋

b

＝log

56

7＋log

56

8＝log

56

56＝1.

∵log

56

7＝

a

，∴

∴

7

1

log

7

56

.

a

1

7

log

7

56

56

.

a

1

a

6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得

11.21000

.

0.01121000

，两式相除得：

1000

∴

1

b

11



ab



11.2

1000

，

0.0112

11

1

.

ab

111





lg11.2lg0.0112



1

.

ab3

ab

法二：用对数解．由题意，得

a

×lg11.2＝3，

b

×lg0.011 2＝3，∴

法三：综合法解．∵11.2＝1 000,0.011 2＝1 000，∴

a

＝log

11.2

1 000，

b

＝log

0.011 2

1 000.

∴

111111.2

log

1000

11.2log

1000

0.0112log

1000

log

1000

10001

ablog

11.2

1000log

0.0112

10000.0112

(2)法一：由2＝5＝10，得

a

＝log

2

10，

b

＝log

5

10，

∴

ab

1111

lg2lg5lg101

.

ablog

2

10log

5

10

11

lg2

，

lg5

，

ab

法二：对已知条件的各边取常用对数，得

a

lg2＝

b

lg5＝1，∴

∴

11

lg2lg5lg101

.

ab

26

2

7．解：(1)原式＝2log

5

5＋log

2

2－2011×0＝4＋6－0＝10.

(2)原式＝log

15

5(1＋log

15

3)＋(log

15

3)＝log

15

5＋log

15

3(log

15

5＋log

15

3)＝log

15

5＋

log

15

3＝log

15

15＝1.[或原式＝(1－log

15

3)(1＋log

15

3)＋(log

15

3)＝1－(log

15

3)＋(log

15

3)

＝1]

222

111

lglg

2lg54lg32lg7



(3)原式



25



81



49



＝(－2)×(－4)×(－2)＝－

lg3lg7lg5lg3lg7lg5

lg

16.

4



1



(4)设

x7

lg20







2



lg0.7

lg0.7lg

＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－，则

lgxlg20lg7

lg0.7

1

2



1



1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴

x

＝14，即

7

lg20







2



2

14

.

2

(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg2＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg2－2

＝3(1－lg2)＋3lg2－2＝3－2＝1.

(6)原式





log

2

3

22





23915



5

log

2

3



2log

3

2log

3

2log

3

2



log

2

3log

3

2

.

3222



3

8．解：设经过

x

年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为

a

(1＋8%)，

经过2年，总产值为

a

(1＋8%)，……经过

x

年，总产值为

a

(1＋8%).

由题意得

a

(1＋8%)＝2

a

，即1.08＝2.

方法一：两边取常用对数，得lg1.08＝lg2，即

x

x

xx

2

x

lg20.3010

9



年



．

lg1.080.0334

lg2

9



年



．

lg1.08

方法二：用换底公式．∵1.08＝2，∴

xlog

1.08

2

答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．

百尺竿头

x

解：(1)∵18＝5，∴log

18

5＝

b

，又∵log

18

9＝

a

，∴log

18

2＝1－log

18

9＝1－

a

.

∴

log

36

45

b

log

18

45log

18

5log

18

9

abab

.



log

18

36log

18

18log

18

211a2a

2)∵log

a

8＋log

2

a

＝4，∴3log

a

2＋log

2

a

＝4，∴

log

2

2

a4log

2

a30

，

∴(log

2

a

－1)(log

2

a

－3)＝0，即log

2

a

＝1或log

2

a

＝3，∴

a

＝2或

a

＝8.

①当

a

＝2时，

f

(

x

)＝

x

＋3是偶函数；当

a

＝8时，

f

(

x

)＝

x

＋3也是偶函数．

∴

f

(

x

)是偶函数．

②当

a

＝2时，原式

log

2

27log

3

64

28

lg27lg643lg36lg2

18

；当

a

＝8

lg2lg3lg2lg3

时，原式

log

8

27log

3

64

xx

lg27lg643lg36lg8

6

.

lg8lg3lg8lg3

x

③∵

g

(

x

)＝2或

g

(

x

)＝8，且2与8都大于1，∴

g

(

x

)＝

a

在R上是单调增函数．

5