2024年4月28日发(作者：)

指数函数与对数函数题型方法总结

一.指数函数与对数函数的单调性的考查

指数函数与对数函数的单调性取决于底数

a



　

　a1　时, ya

x

与 ylog

a

x　是增函数

　0a1　时，ya

x

　与　ylog

a

x　是减函数

1

2

例 求解不等式

1. ①

2

2x-1

1

②

()

x1

4

①解：∵

2

2x-1

12

0

②解：∵

()

x1

4()

2

根据指数函数

y2

x

是增函数得 根据指数函数

y()

x

是减函数得

1

2

1

2

1

2

1

x12

解得

x1

2

1

∴不等式的解集为

{x|x}

∴不等式的解集为

{x|x1}

2

2x10

解得

x

2. ①

log

1

(2x3)0

②

log

2

(2x3)0

2

①解：∵

log

1

(2x3)0log

1

1

②解：∵

log

2

(2x3)0log

2

1

22

根据指数函数

ylog

1

x

是减函数得 根据指数函数

ylog

2

x

是增函数得

2

2x31

解得

x2

2x31

解得

x2

∴不等式的解集为

{x|x2}

∴不等式的解集为

{x|x2}

步骤：（1）将数化为相应底数的指数或对数式

（2）利用指数函数或对数函数的单调性去掉指数的底数或对数符号，从而得到整

式不等式，进而求解。（注意：对数的真数必须满足大于0）

二.对定义域的求解

1.指数型函数定义域的求解方法：令指数有意义的

x

的范围

例

y3

2x1

11

，即函数的定义域为

{x|x}

22

2.对数型函数定义域的求解方法：令放在真数位置的式子>0

解：要使函数有意义需

2x10

，解得

x

例

ylog

2

x

2

解：要使函数有意义需

x

2

0

，解得

x0

，即函数的定义域为

{x|x0}

3.复杂函数定义域的求解：使各部分都有意义的

x

的取值范围（往往用到不等式的求解）

例 （1）

ylog

3

(x1)

（2）

y2

x

1

解：（1）要使函数有意义需

log

3

(x1)0

，即

log

3

(x1)0log

3

1

得

x11

，解得

x2

，

所以函数的定义域为

{x|x2}

（2）要使函数有意义需

2

x

10

，即

2

x

12

0

，得

x0

，所以函数的定义域为

{x|x0}

三.函数恒过定点的应用

1.指数函数恒过定点

(0,1)

的应用

指数函数

ya

x

恒过点（0，1）即

a

0

1

即当指数为0时，指数值为1

例 函数

ya

x1

（

a0且a1

）恒过的定点是（ ）

解：令

x10x1

，则

y1

所以此函数恒过的定点是（1，1）

2.对数函数恒过定点（1，0）的应用

对数函数

ylog

a

x

恒过点（1，0）即

log

a

10

即真数为1，对数值为0

例 求函数

ylog

a

(x1)

(a0且a1)

恒过的定点

解：令

x11x2

，则

y0

所以此函数恒过的定点是（2，0）

四.指数型与对数型函数的奇偶性的判断

步骤：1.先求定义域

2.①若定义域关于原点对称，则再判断

f(x)与f(x)

的关系

（方法用到指数或对数的运算法则）

②若定义域不关于原点对称则非奇非偶

例1 已知

f(x)lg

证明：令

1x

判断并证明函数的奇偶性

1x

1x

0

，得

1x1

，即函数的定义域为

{x|1x1}

1x

1(x)

1x1x

1

1x

lglg()lgf(x)

1(x)1x1x1x

∵

f(x)lg

∴函数

f(x)

是奇函数.

2

的奇偶性

2

x

1

证明：函数

f(x)

的定义域为

R

2. 判断并证明函数

f(x)1