2024年4月28日发(作者：)

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学

中常见的数学模型。指数函数与对数函数既有相似之处又有一

些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。

一、指数函数

指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，

a>0，且a≠1。

1. 基本性质：

（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0

是减函数。

（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数

是正值函数。

（3）当x=0时，指数函数的值为1。

（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。

2. 反函数：

指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底

数，x为真数，a>0，且a≠1。

3. 基本性质：

（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。

（2）当x=1时，对数函数的值为0。

（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0

数是负值函数。

（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近

于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。

4. 常用公式：

（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底

数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和

以e为底的对数函数。

（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，

g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。

二、对数函数

对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：

y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。

1. 基本性质：

（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。

（2）当x=1时，对数函数的值为0。

（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0

数是负值函数。

（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近

于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。

2. 常用公式：

（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底

数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和

以e为底的对数函数。

（2）对数函数的复合函数性质：如果f(x)是对数函数y=logₐx，

g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=logₐ(g(x))。

三、指数函数与对数函数的关系

指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即指数函数y=a^x

与对数函数y=logₐx互为反函数。所以可以通过两个函数的性

质互相推导。

1. 相等性质：

（1）a^logₐx=x，对数函数是指数函数的反函数，所以两个函

数的输出值和输入值相等。

（2）logₐa^x=x，指数函数是对数函数的反函数，所以两个函

数的输出值和输入值相等。

2. 对数与指数的运算性质：

（1）logₐ(xy)=logₐx+logₐy，对数函数的底数为a，对两个数的

乘积求对数，等于分别对两个数求对数后再相加。

（2）logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，对数函数的底数为a，对两个数的

商求对数，等于分别对两个数求对数后再相减。

（3）logₐx^p=p·logₐx，对数函数的底数为a，对一个数的指数

求对数，等于指数乘以这个数的对数。

（4）a^(logₐx)=x，指数函数是对数函数的反函数，所以将一

个数的对数以底数为底求指数，等于这个数。

总结起来，指数函数与对数函数是数学中非常重要的函数，广

泛应用于数理化生等多个领域。两个函数有相似的特性，互为

反函数，可通过复合关系推导性质。对于指数函数，底数大于

1时是增函数，小于1时是减函数；对于对数函数，底数大于

1时是减函数，小于1时是增函数。