2024年4月28日发(作者：)

指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

x

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数

y

在

a，ylog

a

x

a1

及

0a1

两种不同情况。

1、指数函数：

定义：函数

yaa

x



0且a1



叫指数函数。

定义域为

R

，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数

ya

x

中的

a

必须

a0且a1

。

因为若

a0

时，

y



4



x

，当

x

1

4

时，函数值不存在。

a0

，

y0

x

，当

x0

，函数值不存在。

a1

时，

y1

x

对一切

x

虽有意义，函数值恒为1，但

y1

x

的反函数不存在， 因为要求函数

ya

x

中的

a0且a1

。

x

1、对三个指数函数

y2

x

，y





1





2





，y10

x

的图象的

认识。

图象特征与函数性质：

图象特征 函数性质

（1）图象都位于

x

轴上方；

（1）

x

取任何实数值时，都有

a

x

0

；

（2）图象都经过点（0，1）；

（2）无论

a

取任何正数，

x0

时，

y1

；

（3）

y2

x

，y10

x

在第一象限内的纵坐

（3）当

a1

时，







x0，则a

x

1

标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，





x0，则a

x

1

x

y





1





2



的图象正好相反；

当

0a1

时，







x0，则a

x

1







x0，则a

x

1

（4）

y2

x

，y10

x

的图象自左到右逐渐（4）当

a1

时，

ya

x

是增函数，

1



1



上升，

y



的图象逐渐下降。



2



x

当

0

时，

ya

是减函数。

a1

x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如

y2

和

y10

相交于

(0，1)

，当

x0

时，

y10

x

xxx

2222

的图象在

y2

的图象的上方，当

x0

，刚好相反，故有

1

及

1

。

02

02

x



1



x

②

y2

与

y



的图象关于

y

轴对称。



2





1



x

③通过

y2

，

y10

，

y



三个函数图象，可以画出任意一个函数

ya

（

a

）的

0且a1



2



xx

x

x



1



xxx

示意图，如

y3

的图象，一定位于

y2

和

y10

两个图象的中间，且过点

(0，1)

，从而

y



也由



3





1



关于

y

轴的对称性，可得

y



的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。



3



2、对数：

定义：如果

aN(a0且a1)

，那么数

b

就叫做以

a

为底的对数，记作

b

（

a

是底数，

N

是

log

a

N

b

x

真数，

log

a

N

是对数式。）

由于

N

故

log

a

N

中

N

必须大于0。

a0

当

N

为零的负数时对数不存在。

（1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：

求

log

0.32



b



52





4





52



分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成

log

0.32



x

，再改写为指数式就



4





52





x

4



比较好办。

解：设

log

0.32



2

则0.32

x



x

52

4



1

2



8



8



即









25



25



∴x

1

2



52



1

即log

0.32





2



4



评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。

x

如求

35

中的

x

，

化为对数式

xlog

3

5

即成。

（2）对数恒等式：

由

a

N(1)blogN(2)

a

将（2）代入（1）得

a

log

a

N

b

N

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。

计算：



3



log

1

2

3

解：原式

3

1

log

1

2

2

3



1









3



log2

1

2

3

。

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数；

②1的对数是零；

③底数的对数等于1。

（4）对数的运算法则：

①

l

ogMNlogMlogNM，NR



aaa





oglogMlogNM，NR

②

l

aaa

③

l

ogNnlogNNR

aa

n

oglogNNR

④

l

a

N

a

M

N

n















1

n



3、对数函数：

定义：指数函数

ya(a0且a1)

的反函数

x

ylog(0,)

叫做对数函数。

a

xx

log，ylog，

1、对三个对数函数

y

2

x

1

x

2

3

ylgx

的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征

（1）图象都位于

y

轴右侧；

（2）图象都过点（1，0）；

+

函数性质

（1）定义域：

R

，值或：

R

；

（2）

x

时，

y0

。即

l

；

1

og0

a

1

（3）当

a1

时，若

x1

，则

y0

，若

，则

y0

；

0x1

时，若

x0

，则

y0

，若

a1

在

x

轴上方，当

0

时，图象在

x

轴下

当

0

x0

时，则

y0

；

0x1

方，

ylogx

与上述情况刚好相反；

（3）

y

，

ylgx

当

x

时，图象

1

log

2

x

1

2

时，

y

是增函数；

1

log

（4）

y

从左向右图象是上

（4）

a

logx，ylgx

a

x

2

升，而

ylog

1

x

从左向右图象是下降。

2

时，

y

是减函数。

0a1

log

a

x

对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是

y

与

ylgx

在点（1,0）曲线是交叉的，即当

x0

log

2

x

时，

y

的图象在

ylgx

的图象上方；而

0

时，

y

的图象在

ylgx

的图象的下方，

x1

loglog

2

x

2

x

故有：

l

；

l

。

og.15lg1.5og0.1lg0.1

22

（2）

y

的图象与

ylog

1

x

的图象关于

x

轴对称。

log

2

x

2

（3）通过

y

，

ylgx

，

ylog

1

x

三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如

log

2

x

2

作

y

的图象，它一定位于

y

和

ylgx

两个图象的中间，且过点（1,0），

x0

时，在

ylgxloglog

3

x

2

x

的上方，而位于

y

的下方，

0

时，刚好相反，则对称性，可知

ylog

1

x

的示意图。

x1

log

2

x

3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：

log

a

N

logN

b

log

a

b

LNlog(其中e2.71828…)称为N的自然对数

ne

N

LNlog称为常数对数

g10

N

由换底公式可得：

lgNlgN

LN2.303lgN

n

lge0.4343

由换底公式推出一些常用的结论：

4

（1）

log

1

a

b

log

或log

a

b·log

b

a1

b

a

（2）

log

m

a

n

b

m

n

log

a

b

（3）

log

n

a

n

blog

a

b

（4）

log

a

n

a

m



m

n

5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。

指数方程的题型与解法：

名称 题型 解法

基本型

同底数型

a

f



x



b

取以

a

为底的对数

f



x



log

a

b

不同底数型

a

f(x)

a



(x)

需代换型

取以

a

为底的对数

f



x









x



a

f



x



b





x



取同底的对数化为

fx·lgax

F







·lgb



a

x



0

换元令

ta

x

转化为

t

的代数方程

对数方程的题型与解法：

名称 题型 解法

基本题

log

a

f



x



b

对数式转化为指数式

f



x



a

b

同底数型

log

a

fx



log

a





x



转化为

f



x









x



（必须验根）

需代换型

F

(log

a

x)

0

换元令

tlog

a

x

转化为代数方程

5