2024年4月28日发(作者：)

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．

3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指

数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.

6．知道指数函数

【要点梳理】

与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).

要点一、幂的概念及运算性质

1.整数指数幂的概念及运算性质

2.分数指数幂的概念及运算性质

为避免讨论，我们约定a>0，n，m



N，且

*

m

为既约分数，分数指数幂可如下定义：

n

a

n

a

a(

n

a)

m



n

a

m

m

n

1

n

a

-

m

n



1

a

m

n

3．运算法则

当a＞0,b＞0时有：

（1）

aaa

（2）

a

m

mnmn

；



n

a

mn

；

a

m

mn

（3）

n

a



mn，a0



；

a

m

mm

（4）



ab



ab

.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4

(4)

2

(

4

4)

2

；

(3)幂指数不能随便约分.如

(4)(4)

.

2

4

1

2

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若x=y(n∈N，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=

n

y

.

n*

n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为

n

y

；零的奇次方根为零，记为

n

00

；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为



n

y

；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为

n

00

.

2．两个等式

（1）当

n1

且

nN

时，

*



n

a

n

a

；



a,(n为奇数)

（2）

a



|a|(n为偶数)



n

n

要点诠释：

①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先

写成

|a|

的形式，这样能避免出现错误．

②指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．

负指数幂化为正指数幂的倒数．

)，先要化成假分数（如15/4），底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如

然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式：

a

2

－

b

2

＝（

a

－

b

）（

a

＋

b

），

a

3

－

b

3

＝（

a

－

b

）（

a

2

＋

ab

＋

b

2

），

a

3

＋

b

3

＝（

a

＋

b

）（

a

2

－

ab

＋

b

2

），

（

a

±

b

）

2

＝

a

2

±2

ab

＋

b

2

，（

a

±

b

）

3

＝

a

3

±3

a

2

b

＋3

ab

2

±

b

3

，的运用，能够简化运算.

指数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念：

函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如

y=a

(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像

y23

，

y2

，

y31

等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果

a0

，则对于一些函数，比如

y(4)

，当

x

x

x

x

x

x

1

x

x

11

,x,

时，在实数范围内函数值不存在．

24

②如果

a1

，则

y11

是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．

要点二、指数函数的图象：

y=a

x

0

----

图象

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“

a1

”和“

0a1

”两种情形讨论。

a>1时图象



1



（2）指数函数

ya

与

y



的图象关于

y

轴对称。



a



x

x

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

①

ya

x

②

yb

x

③

yc

x

④

yd

x

则：0＜

b

＜

a

＜1＜

d

＜

c

观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越

陡，而且指数函数都过点（0,1）

又即：x∈(0,+∞)时，

b

x

a

x

d

x

c

x

（底大幂大）

x∈(－∞,0)时，

b

x

a

x

d

x

c

x

（底小幂小）

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

(2)中间量法：

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若

AB0AB

；

AB0AB

；

AB0AB

；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

【要点梳理】

AA

1

，或

1

即可．

BB

对数及对数运算

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果

a

b

N



a0，且a1



，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:

log

a

N=b

.其中a叫做对数的底数，

N叫做真数.

要点诠释：

对数式log

a

N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.

2.对数

log

a

N



a0，且a1



具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即

N0

；

(2)1的对数为0，即

log

a

10

；

(3)底的对数等于1，即

log

a

a1

.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，

log

10

N简记作lgN

.

以e（e是一个无理数，

e2.7182

）为底的对数叫做自然对数，

log

e

N简记作lnN

.

要点二、对数的运算法则

已知

log

a

M，log

a

N



a0且a1，M、N0



(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

log

a



MN



log

a

Mlog

a

N

(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

log

a

M

log

a

Mlog

a

N

N

(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

log

a

M







log

a

M

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.

如：log

2

(-3)(-5)=log

2

(-3)+log

2

(-5)是不成立的，因为虽然log

2

(-3)(-5)是存在的，但log

2

(-3)与log

2

(-5)

是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是

错误

的：

错误1：log

a

(MN)=log

a

Mlog

a

N，

错误2： (M·N)=log

a

M·log

a

N，

要点三、对数公式

1．对数恒等式：



logN



a

a

N

log

a

Nb



2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1)

log

a

Mlog

a

n

a

b

N

M

n

(nR)

令 log

a

M=b， 则有a=M， (a)=M，即

(a)M

， 则

blog

bbnn

nbn

a

n

M

n

所以得出结论:

log

a

Mlog

(2)

log

a

M

a

n

M

.

n

log

c

M

(c0,c1)

，令log

a

M=b， 则有a

b

=M， 则有

log

c

a

b

log

c

M(c0,c1)

log

c

a

log

c

Mlog

c

M

(c0,c1)

即

blog

c

alog

c

M

， 即

b

，即

log

a

M

log

c

alog

c

a

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得

到一个重要的结论:

log

a

b

1

(a0,a1,b0,b1)

.

log

b

a

对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=log

a

x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中

x

是自变量，函数的定义域是



0,



，值域为

R

．

2．判断一个函数是对数函数是形如

ylog

a

x(a0,且a1)

的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量

x

．

要点诠释：

（1）只有形如y=log

a

x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像

ylog

a

(x1),y2log

a

x,ylog

a

x3

等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字

母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象

0＜a＜1 a＞1

图象

要点诠释：

（1）关于对数式log

a

N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.

下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

（2）以1为分界点，当a，N同侧时，log

a

N>0；当a，N异侧时，log

a

N<0.

（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有

关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反

所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。

要点四、反函数

1．反函数的定义

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是B，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y)。

若对于y在B中的任何一个值，通过x= g(y) （这时候x= g(y)里面的y是自变量，x是因变量），x在A中都有

唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(x∈B)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f

-1

(x) 。反函数y=f

-1

(x)

的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域

由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f

-1

(x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它

的反函数y=f

-1

(x)的定义域．

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如右

图：

要点诠释：

2

不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x．一般说来，单调函数有反函数．

2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线

yx

对称．

（2）若函数

yf(x)

图象上有一点



a,b



，则



b,a



必在其反函数图象上，反之，若



b,a



在反函数图象

上，则



a,b



必在原函数图象上．

幂函数及图象变换

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如

yx(



R)

的函数，叫做幂函数，其中x是自变量，



为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如

yx(



R)

的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：





y3x

4

,yx

2

1,y



x2



等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

各种幂函数的图象：

(1)

yx

；

(2)

yx

；

(3)

yx

；

(4)

yx

；

(5)

yx

．

要点诠释：

幂函数随着



的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)



0

时，幂函数的图象通过原点，并且在区间

[0,)

上是增函数．特别地，当



1

时，幂函数的图

象下凸；当

0



1

时，幂函数的图象上凸；

(3)



0

时，幂函数的图象在区间

(0,)

上是减函数．在第一象限内，当

x

从右边趋向原点时，图象在

y

轴右方无限地逼近

y

轴正半轴，当

x

趋于



时，图象在

x

轴上方无限地逼近

x

轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

3

1

2

1

2

2

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数

f(x)kx

是幂函数，求

f(x)

的表达式，就应由定义知必有

k1

，即

f(x)x

．

4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称

为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

a

a

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数

：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指

数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：

f(x)x

2

的图象变换，

y(x1)

2

,yx

2

1,

y2x

2

,y|x|

2

（1）平移变换

y

=

f

(

x

)→

y

=

f

(

x

＋

a

) 图象左（

a0

）、右（

a0

）平移

y

=

f

(

x

)→

y

=

f

(

x

)＋b 图象上（

b0

）、下（

b0

）平移

（2）对称变换

y

=

f

(

x

) →

y

=

f

(－

x

), 图象关于

y

轴对称

y

=

f

(

x

) →

y

=－

f

(

x

) , 图象关于

x

轴对称

y

=

f

(

x

) →

y

=－

f

(－

x

) 图象关于原点对称

y

=

f

(

x

)→

yf

1

(x)

图象关于直线

y

=

x

对称

（3）翻折变换：

y

=

f

(

x

) →

y

=

f

(|

x

|),把

y

轴右边的图象保留，然后将

y

轴左边部分

关于

y

轴对称．（注意：它是一个偶函数）

y

=

f

(

x

) →

y

=|

f

(

x

)| 把

x

轴上方的图象保留，

x

轴下方的图象

关于

x

轴对称

要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若

f

(

a

－

x

)＝

f

(

a

＋

x

)，则函数

y

=

f

(

x

)的图象关于直线

x

=

a

对称。

指数函数、对数函数、幂函数配置习题

指数幂的概念与运算

1.求下列各式的值：

（1）

5

(3)

5

;(2)

4

(10)

2

;(3)

4

(3



)

4

;(4)(ab)

2

.

2. 求下列各式的值

=

=

=

3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中

a>0

）：

（1）

aa

；（2）

a

3



3

a

2

；（3）

aa

；

2

4.计算

1

1



3

7

()()

0

8

0.25



4

2(

3

23)

6

86

指数函数的概念

5．函数

y(a3a3)a

是指数函数，求

a

的值．

6．求下列函数的定义域、值域.

2x

1

3

x

2x1

xx

3

(1)

y

；(2)y=4-2+1；(3)；(4)

ya

9

13

x

指数函数的单调性及其应用

7．讨论函数

f(x)



2x

1

x1

(a为大于1的常数)



1





3



x

2

2x

的单调性

判断函数的奇偶性

8．判断下列函数的奇偶性：

9.请做出

10.

将下列指数式与对数式互化：

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

；

(5)

；

的图象

利用对数恒等式化简求值

1log

7

5

11．求值：

7

积、商、幂的对数

12.

用log

a

x,log

a

y,log

a

z

表示下列各式

x

2

y

xyx

35

(1)log

a

;(2)log

a

(xy);(3)log

a

;(4)log

a

3

zyz

z

换底公式的运用

b

13.已知

log

18

9a,185

，求

log

36

45

．

对数运算法则的应用

14.求值

(1)

log

64

32log

2

(2)

lg142lg

111

log

3

log

5

2589

7

lg7lg18

3

3

(3)

log

2

(log

2

32log

1

log

4

36)

4

2

(4)



log

2

125log

4

25log

8

5



(log

125

8log

25

4log

5

2)

对数函数的概念

15.下列函数中，哪些是对数函数？

（1）

ylog

a

x(a0,a1)

；

（2）

ylog

2

x2;

（3）

y8log

2

(x1)

；

（4）

ylog

x

6(x0,x1)

；

（5）

ylog

6

x

．

对数函数的定义域

16. 求下列函数的定义域：

2

(1)

ylog

a

x

； (2)

ylog

a

(4-x)(a0且a1)

.

对数函数的单调性及其应用

17. 比较下列各组数中的两个值大小：

(1)

log

3

3.6,log

3

8.9

；

(2)

log

0.2

1.9,log

0.2

3.5

；

(3)

log

2

5

与

log

7

5

；

(4)

log

3

5

与

log

6

4

．

(5)

log

a

4.2,log

a

4.8

（

a0且a1

）．

函数的奇偶性

18. 判断下列函数的奇偶性.

(1)

f(x)ln

2-x

;

(2)

f(x)lg(1x

2

-x)

.

2x

x

类型五、反函数

19．求出下列函数的反函数



1



（1）

ylog

1

x

；（2）

y



．



e



6

利用函数图象解不等式

x

20．若不等式

2log

a

x0

，当

x



0,





1





时恒成立，求实数a的取值范围．

2



对数函数性质的综合应用

21．

（1）已知函数

ylg(x2xa)

的定义域为

R

，求实数

a

的取值范围；

（2）已知函数

ylg(x2xa)

的值域为

R

，求实数

a

的取值范围；

2

2