2024年5月2日发(作者：)

函数的表示法

1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法

2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任

意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B

的一个映射。记作“f：A→B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元

素a的象，b=f（a），元素a叫做元素b的原象.

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应

法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映

射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）

集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A

中都有原象。

注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的

元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.

4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点

等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法

作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代

表性，应能反映定义域的特征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把

自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式

并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它

误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

6.复合函数：如果y是u的函数，u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f

（g（x））叫做函数y=f（u）（外函数）和u=g（x）（内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量

x1

y2

为x函数值为y.例如：函数 是由y=2

u

和u=x

2

+1 复合而成立。

2

复合函数的定义域：①已知f（x）的定义域为（a，b），求f（g（x））的定义域的方法：已知f（x）

的定义域为（a，b），求f（g（x））的定义域.实际上是已知中间变量的u的取值范围，即u∈（a，b），g

（x）（a，b）.通过解不等式a＜g（x）＜b求得x的范围，即为f（g（x））的定义域。② 已知f（g（x））

的定义域为（a，b），求f（x）的定义域的方法：若已知f（g（x））的定义域为（a，b），求f（x）的定

义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，即x∈（a，b）.先利用a＜x＜b求得g（x）的范围，则g

（x）的范围即是f（x）的定义域.

7.函数的解析表达式：（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，

一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系

数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达

式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数

表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).