2024年1月9日发(作者：一加系统更新)

一、选择题

1．如图，AB//CD,ABK的平分线BE的反向延长线和DCK的平分线CF的反向延长 KH24，则K（

）

线相交于点 H，

A．76 B．78 C．80 D．82

2．如图，AB//CD，将一个含30角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若1的度数为25，则2的度数为（

）

A．35 B．65 C．145 D．155

3．如图，AD//BC,DABC,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得FBEFEB，作FEH的角平分线EG交BH于点G，若DEH100，则BEG的度数是（

）

A．30 B．40 C．50 D．60

4．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

5．如图，已知BC//DE，BF平分ABC，DC平分ADE，则下列判断：①ACBE；②DF平分ADC；③BFDBDF；④ABFBCD中，正确的

有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内CD上方的一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝，∠DCE＝．下列各式：①＋，②﹣，③﹣，④180°﹣﹣，⑤360°﹣﹣中，∠AEC的度数可能是（

）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

7．如图，AB∥EF∥CD，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（

）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

8．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF的度数为（

）

A．120

数为( )．

B．135 C．45或135 D．60或120

9．如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E-∠F=48°，则∠CDE的度

A．16° B．32° C．48° D．64°

10．如图，已知AP平分BAC，CP平分ACD，1290．下列结论正确的有（

）

①AB//CD；②ABECDF180；③AC//BD；④若ACD2E，则

CAB2F．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．已知AB//CD，点M、N分别为AB、CD上的点，点E、F、G为AB、CD内部的3点，连接FM、FN、EM、EN、CM、GN，MENE于E，BMFBME，53DNFDNE，MG平分AMF，NG平分CNF，则MGN（小于平角）的度数为5______．

12．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（PQ//MN）各安置一探照灯A，BC（A在B的左侧），灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转，灯B发出的射线BD从BP开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC第一次经过点B，此时ABD55，则a________，两灯继续转动，射线AC与射线BD交于点E（如图2），在射线BD到达BQ．．．．．．．．．之前，当AEB120，MAC的度数为________．

．．

13．如图，已知A1B//AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．

14．如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm．

15．如图所示，12355，则4的度数为______．

16．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD的度数为________．

17．如图，△ABC沿AB方向平移3个单位长度后到达△DEF的位置，BC与DF相交于点O，连接CF，已知△ABC的面积为14，AB＝7，S△BDO﹣S△COF＝___．

18．如图，将一副三角板按如图放置（E60，B45），则下列结论：

①13；

②如果230，则有BC//AE；

③如果123，则有BC//AE；

④如果AB//ED，必有EAC30．

其中正确的有___（填序号）．

19．如图，在长方形ABCD中，AB4，BC6，将长方形ABCD沿着BC方向平移得到长方形ABCD．若ABBA是正方形，则四边形ABCD的周长是______．

20．一副直角三角板叠放如图①，CE90．现将含45角的三角板ADE固定不动，把含30角的三角板ABC（其中CAB30）绕顶点A顺时针旋转角0180．

（1）如图②，当______度时，边BC和边AE所在的直线互相垂直；

（2）当旋转角在30180的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的______．

三、解答题

21．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．

（1）在动点A运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？

（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；

（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．

22．已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0

（1）α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是

；

（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中FPN1的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Q23．问题情境：

如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．

问题解决：

（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；

（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．

24．已知直线AB//CD，点P为直线AB、CD所确定的平面内的一点．

（1）如图1，直接写出APC、A、C之间的数量关系

；

（2）如图2，写出APC、A、C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF//PC，作PEGPEF，点G在直线CD上，作BEG的平分线EH交PC于点H，若APC30，PAB140，求PEH的度数．

25．如图，已知AB//CD，CN是BCE的平分线．

（1）若CM平分BCD，求MCN的度数；

（2）若CM在BCD的内部，且CMCN于C，求证：CM平分BCD；

（3）在（2）的条件下，过点B作BPBQ，分别交CM、CN于点P、Q，PBQ绕着B点旋转，但与CM、CN始终有交点，问：BPCBQC的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

分别过K、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用ABK和DCK分别表示出H和K，从而可找到H和K的关系，结合条件可求得K．

【详解】

解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，

AB//CD，

AB//CD//RS//MN，

11RHBABEABK，SHCDCFDCK，

22NKBABKMKCDCK180，

1BHC180RHBSHC180(ABKDCK)，

2BKC180NKBMKC

ABKDCK180，

BKC3602BHC1801802BHC，

又BKCBHC24，

BHCBKC24，

BKC1802(BKC24)，

BKC76，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④a//b，b//ca//c．

2．A

解析：A

【分析】

过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，则EF∥CD，利用平行线的性质，得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入计算即可．

【详解】

如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠3=∠1，∠4=∠2，

∵∠3+∠4=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∵∠1=25°，

∴∠2=35°，

故选A．

【点睛】

本题考查了平行线的辅助线构造，平行线的判定与性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

3．B

解析：B

【分析】

AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．

【详解】

解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，

∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，

AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，

而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，

∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，

∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，

在△AEF中，

在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°

故β-α=40°，

而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．

4．B

解析：B

【详解】

因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，

所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．

5．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质求出ACBE，根据角平分线定义和平行线的性质求出ABFCBFADCEDC，推出BF//DC，再根据平行线的性质判断即可．

【详解】

∵BC//DE，

∴ACBE，∴①正确；

∵BC//DE，

∴ABCADE，

∵BF平分ABC，DC平分ADE，

11∴ABFCBFABC，ADCEDCADE，

22∴ABFCBFADCEDC，

∴BF//DC，

∴BFDFDC，

∴根据已知不能推出ADFCDF，∴②错误；③错误；

∵ABFADC，ADCEDC，

∴ABFEDC，

∵DE//BC，

∴BCDEDC，

∴ABFBCD，∴④正确；

即正确的有2个，

故选:B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．

6．C

解析：C

【分析】

根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．

【详解】

解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝，

∵∠AOC＝∠BAE1＋∠AE1C，

∴∠AE1C＝﹣．

（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，

可得∠1＝∠BAE2＝，∠2＝∠DCE2＝，

∴∠AE2C＝＋．

（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝，

∵∠BAE3＝∠BOE3＋∠AE3C，

∴∠AE3C＝﹣．

（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4＋∠AE4C＋∠DCE4＝360°，

∴∠AE4C＝360°﹣﹣．

综上所述，∠AEC的度数可能是﹣，＋，﹣，360°﹣﹣．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．

7．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质解答．

【详解】

解：∵AB∥EF∥CD，

∴1BDCABDBHF

∵EG∥DB，

∴ABDAGEHEG,

故选：B．

【点睛】

此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟记性质定理是正确解题的关键．

8．C

解析：C

【分析】

根据题意画出示意图，延长FP交AB于点Q，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答．

【详解】

解：根据题意，延长FP交AB于点Q，可画图如下：

∵AB∥CD

∴CFQPQE

∵将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，

∴CFPPFM,MEPPEQ，

∵FPEPQEPEQ,EMFM，

如第一个图所示，在四边形FPEM中，PFMMEPFPE36090，

得：2FPE270，

∴FPE135．

如第二个图所示，在四边形FPEM中，PFMMEPFPE360(36090)90，

得：2FPE90，

∴FPE45．

故选：C．

【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．

9．B

解析：B

【分析】

已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，根据角平分线分定义可得∠ABE=2∠ABF，∠CDF=2∠CDE；过点E作EM//AB，点F作FN//AB，即可得AB//CD//EM//FN，由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=2∠ABF+∠CDE，∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +2∠CDE，

又因2∠BED-∠BFD=48°，即可得2（2∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +2∠CDE）=48°，由此即可求得∠CDE=32°.

【详解】

∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，

∴∠ABE=2∠ABF，∠CDF=2∠CDE，

过点E作EM//AB，点F作FN//AB，

11111111

∵AB//CD，

∴AB//CD//EM//FN，

∴∠ABE=∠BEM，∠MED=∠EDC，∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，

∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=2∠ABF+∠CDE，

∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +2∠CDE，

∵2∠BED-∠BFD=48°，

11

∴2（2∠ABF+∠CDE）-（∠ABF +2∠CDE）=48°，

∴∠CDE=32°.

故选B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.

1110．C

解析：C

【分析】

由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由ACD2E及CP平分ACD，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得CAB2F，即④正确．

【详解】

∵AP平分BAC，CP平分ACD

∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP

∵1290

∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜

∴AB//CD

故①正确

∵AB//CD

∴∠ABE=∠CDB

∵∠CDB+∠CDF=180゜

∴ABECDF180

故②正确

由已知条件无法推出AC∥BD

故③错误

∵ACD2E，∠ACD=2∠ACP=2∠2

∴∠ACP=∠E

∴AC∥BD

∴∠CAP=∠F

∵∠CAB=2∠1=2∠CAP

∴CAB2F

故④正确

故正确的序号为①②④

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识是关键．

二、填空题

11．【分析】

过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．

【详解】

解：过点，做平行于，如下图：

，

，

则，

解析：153

【分析】

过点E,F,G，做EH,FK,GJ平行于AB，根据平行线的传递性及性质得MENBMEDNE，同理得出MGNAMGCNG，令BME5a，则BMF3a，DNE5b，则DNF3b，通过等量关系先计算出ab18，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．

【详解】

解：过点E,F,G，做EH,FK,GJ平行于AB，如下图：

AB//EH,AB//CD，

EH//CD，

则BMEHEM,DNEHEN，

MENHEMHENBMEDNE，

同理可得：MGNAMGCNG，

令BME5a，则BMF3a，

DNE5b，则DNF3b，

则MENBMEDNE5a5b90，

ab18，

AMF180BMF1803a，

CNF180DNF1803b，

MG平分AMF，NG平分CNF，

AMG1313AMF90a,CNGCNF90b，

2222

3MGNAMGCNG180(ab)153，

2故答案是：153．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．

12．或．

【分析】

（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；

（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC没到达AN时，；②

解析：120或60．

【分析】

（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；

（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC没到达AN时，AEB120；②射线AC到达AN后，返回旋转的过程中，AEB120；分别求出答案即可．

【详解】

解：（1）如图，射线AC第一次经过点B，

∵PQ//MN，

∴MABABPABDDBP，

∴MAB55DBP，

∴55a55551，

解得：a2；

故答案为：2．

（2）①设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，

由旋转的性质，则EAN1802t，PBEt，

∵EF//MN//PQ，

∴AEFEAN1802t，FEBPBEt，

∵AEBAEFFEB120，

∴1802tt120，

∴t60（秒），

∴MAC260120；

②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，

此时AC为达到AN之后返回途中的图像；

与①同理，

∴MAC3602t，QBE180t，

∵AEBAEFFEB120，

∴3602t180t120，

解得：t120（秒）；

∴MAC360212060；

综合上述，MAC的度数为：120或60；

故答案为：120或60．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．

13．【分析】

过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点向右作，过点向右作

,

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质定理,根据题

解析：n1180

【分析】

过点A2向右作A2D//A1B，过点A3向右作A3E//A1B，得到A3E//A2D//...//A1B//AnC，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．

【详解】

解：如图，过点A2向右作A2D//A1B，过点A3向右作A3E//A1B

A1B//AnC

A3E//A2D//...//A1B//AnC

A1A1A2D180,DA2A3A2A3E180...

A1A1A2A3...An1AnCn1180

故答案为：n1180．

【点睛】

本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．

14．9

【分析】

根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．

【详解】

∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平

解析：9

【分析】

根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．

【详解】

∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm

∴DE=AB=3cm，BE=acm

∴EC=BC－BE=(4－a)cm

∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm

故答案为：9

【点睛】

本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．

15．125°

【分析】

结合题意，根据对顶角相等的性质，通过证明，得，再根据补角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图：

∵，且

∴

∴

∴

∴

故答案为：125°．

【点睛】

本题考查了

解析：125°

【分析】

结合题意，根据对顶角相等的性质，通过证明l1//l2，得63，再根据补角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图：

∵52，且12355

∴51

∴l1//l2

∴6355

∴41806125

故答案为：125°．

【点睛】

本题考查了平行线、对顶角、补角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．

16．36°

【分析】

先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC72°＝36°，然后根据对顶

解析：36°

【分析】

先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠BOD＝∠AOC＝36°．

【详解】

解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，

∴∠EOC＝2x＝72°，

∵OA平分∠EOC，

∴∠AOC11∠EOC72°＝36°，

2211∠EOC72°＝36°，然后根据对顶角相等得到22∴∠BOD＝∠AOC＝36°．

故答案为：36°

【点睛】

考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：1直角＝90°；1平角＝180°，以及对顶角相等．

17．2

【分析】

如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．利用三角形面积公式求出CG，再根据S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝求解即可．

【详解】

解：如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于

解析：2

【分析】

如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．利用三角形面积公式求出CG，再根据S△BDO﹣11S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝DBCGCFCG求解即可．

22【详解】

解：如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G．

∵S△ABC＝2•AB•CG，

∴CG＝214＝4，

71∵AD＝CF＝3，AB＝7，

∴BD＝AB﹣AD＝7﹣3＝4，

1111∴S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝DBCGCFCG44342，

2222故答案为：2．

【点睛】

本题考查三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

18．①③④

【分析】

根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．

【详解】

解：，

，故①正确，

当时，，，

，

故与不平行，故②错误，

当时，可得，

，故③正确，

取与的交点为，

，，

，

，

解析：①③④

【分析】

根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．

【详解】

解：EADCAB90，

13，故①正确，

当230时，360，445，

34，

故AE与BC不平行，故②错误，

当123时，可得3445，

BC//AE，故③正确，

取AC与ED的交点为F，

E60，AB//ED，

FABEFA90，

EAC906030，

故④正确，

故答案是：①③④．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角板的性质．

19．28

【分析】

根据平移的性质求出，再由长方形的周长公式求解即可．

【详解】

解：由题意可知，四边形是正方形，

∴，，

又∵长方形由长方形平移得到，

∴

∵

∴四边形的周长为：

故答案为：28

【点

解析：28

【分析】

根据平移的性质求出BC10，再由长方形的周长公式求解即可．

【详解】

解：由题意可知，四边形ABBA是正方形，

∴BBAB4，BCBC642，

又∵长方形ABCD由长方形ABCD平移得到，

∴BCBC6

∵BCBBBC4610

∴四边形ABCD的周长为：(104)228

故答案为：28

【点睛】

此题主要考查了平移的性质，求出BC10是解答此题的关键．

20．60°或105°或135°

【分析】

（1）根据条件只需证BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；

（2）分情况画出图形，根据平行线的性质计算即可．

【详解】

解：（

解析：60°或105°或135°

【分析】

（1）根据条件只需证BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；

（2）分情况画出图形，根据平行线的性质计算即可．

【详解】

解：（1）在△ABC中，AC⊥BC，AE与AC重合，

则AE⊥BC，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°，

∴当α=15°时，BC⊥AE．

故答案为15；

（2）当BC∥AD时，

∠C=∠CAD=90°，

∴α=∠BAD=90°-30°=60°；

如图，当AC∥DE时，

∠E=∠CAE=90°，

则α=∠BAD=45°+60°=105°，

此时∠BAE=90°-30°=60°=∠B，

则AE∥BC；

如图，当AB∥DE时，

∠E=∠BAE=90°，

∴α=∠BAD=45°+90°=135°；

综上：符合条件的α为60°或105°或135°，

故答案为：（1）15；（2）60°或105°或135°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角板的角度计算，正确确定△ABC旋转的过程中可以依次出现几次平行的情况是关键．

三、解答题

21．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，证明见解析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．

【分析】

（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；

（2）根据角平分线可得∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则有∠ACB＝∠B；

（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，则可求∠BAC＝40°，由平行线的性质可得AC⊥AD．

【详解】

解：（1）是，理由如下：

要使AD平分∠EAC，

则要求∠EAD＝∠CAD，

由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，

则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；

故答案为：是；

（2）∠B＝∠ACB，理由如下：

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵AD∥BC，

∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，

∴∠B＝∠ACB．

（3）∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∵∠EBF＝50°，

∴∠BAC＝40°，

∵AD∥BC，

∴AD⊥AC．

【点睛】

此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．

22．（1）20，20，AB//CD；（2）FMNGHF180；（3）FPN12

QFPN1的值不变，Q【分析】

（1）根据(402)2|20|0，即可计算和的值，再根据内错角相等可证AB//CD；

（2）先根据内错角相等证GH//PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出FMNGHF180；

（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER//FQ，得

∠FQM1∠R，设∠PER∠REBx，∠PM1R∠RM1By，得出EPM12R，即可得FPN12．

Q【详解】

解：（1）(402)2|20|0，

4020，200，

20，

PFMMFN20，EMF20，

EMFMFN，

AB//CD；

故答案为：20、20，AB//CD；

（2）FMNGHF180；

理由：由（1）得AB//CD，

MNFPME，

MGHMNF，

PMEMGH，

GH//PN，

GHMFMN，

GHFGHM180，

FMNGHF180；

（3）FPN1FPN12；

的值不变，QQ理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，

AB//CD，

PEM1PFN，

11PERPEM1，∠PFQ∠PFN，

22PERPFQ，

ER//FQ，

FQM1R，

设∠PER∠REBx，∠PM1R∠RM1By，

yxR则有：，

2y2xEPM1可得EPM12R，

EPM12FQM1，

EPM12．

FQM1【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．

23．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°

【分析】

（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；

（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．

【详解】

解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=α，∠CPE=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．

（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，

∵AB∥CD，∠PAB=α，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，

∴α=∠APC+β，

∴∠APC=α-β；

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，

∵AB∥CD，∠PCD=β，

∴∠2=∠PCD=β，

∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，

∴β=α+∠APC，

∴∠APC=β-α；

（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥QF∥PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，

∵∠APC=116°，

∴∠BAP+∠PCD=116°，

∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，

∴∠BAQ=2∠BAP，∠DCQ=2∠PCD，

∴∠BAQ+∠DCQ=2（∠BAP+∠PCD）=58°，

∵AB∥QF∥CD，

∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，

∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，

∴∠AQC=58°．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．

24．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°

【分析】

111

（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；

（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；

（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=2∠FEG，∠GEH=2∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．

【详解】

解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°

如图1所示，过点P作PQ∥AB，

11

∴∠A+∠APQ=180°，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C+∠CPQ=180°，

∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；

（2）∠APC=∠A+∠C，

如图2，作PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠C=∠CPQ，

∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，

∴∠APC=∠A-∠C；

（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，

∵∠APC=30°，∠PAB=140°，

∴∠PCD=110°，

∵AB∥CD，

∴∠PQB=∠PCD=110°，

∵EF∥BC，

∴∠BEF=∠PQB=110°，

∵EF∥BC，

∴∠BEF=∠PQB=110°，

∵∠PEG=∠PEF，

∴∠PEG=2∠FEG，

∵EH平分∠BEG，

∴∠GEH=2∠BEG，

∴∠PEH=∠PEG-∠GEH

=2∠FEG-2∠BEG

=2∠BEF

=55°．

【点睛】

此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

25．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°

【分析】

（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；

（3）BPCBQC180，过Q，P分别作QG//AB，PH//AB，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．

【详解】

解（1）CN，CM分别平分BCE和BCD，

1111111BCNBCE，BCMBCD，

22BCEBCD180，

111MCNBCNBCMBCEBCD(BCEBCD)90；

222（2）CMCN，

MCN90，即BCNBCM90，

2BCN2BCM180，

CN是BCE的平分线，

BCE2BCN，

BCE2BCM180，

又BCEBCD180，

BCD2BCM，

又CM在BCD的内部，

CM平分BCD；

（3）如图，不发生变化，BPCBQC180，过Q，P分别作QG//AB，PH//AB，

则有QG//AB//PH//CD，

BQGABQ，CQGECQ，BPHFBP，CPHDCP，

BPBQ，CPCQ，

PBQPCQ90，

ABQPBQFBP180，ECQPCQDCP180，

ABQFBPECQDCP180，

BPCBQCBPHCPHBQGCQG

ABQFBPECQDCP180，

BPCBQC180不变．

【点睛】

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．