2024年4月3日发(作者：)

条件期望12条性质的证明

考虑随机变量$X,Y,X_1,X_2,...on

$ $L^1(mathscr{X,A},mathbb{P}),mathscr{A_0 sub A},f,g$为可积函数，则有：

$X=c$ a.s. for $cin R$ , 则有$E[X|mathscr{A_0}]=c$ a.s.

（都几乎处处为一个常数了，那么其条件期望也几乎处处等于这个常数）

(a) $X$对$mathscr{A_0}$可测 , 则有$E[X|mathscr{A_0}]=X$.

(b) $mathscr{A}_0=mathscr{A},E[X|mathscr{A_0}]=X$

(c) $mathscr{A_0}={phi,mathscr{X},E[X|mathscr{A_0}]=E(X)}$

(a), (b)都是很容易理解，事实上(b)可以由(a)推出，原因在于当$mathscr{A_0=A}$时，

就有$X$对$A_0$可测了.

而为什么(a), (b)成立，可以回顾条件期望的定义，会发现$X$作为条件期望时满足条

件期望的定义.

但对于(c)我也不是很理解.

If $Xleq Y a.s.$, 则有$E[X|mathscr{A_0}]leq E[Y|mathscr{A_0}] a.s.$

这个性质我没有太过思考，就是条件期望有类似于保序性的性质？

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If $a,b in R$, 则有

$E[af(x)+bg(Y)|mathscr{A_0}]=aE[f(x)|mathscr{A_0}]+bE[g(Y)|mathscr{A_0}]$

这个性质说明了条件期望具有线性性，在运算的时候很有帮助.

$E[E[X|mathscr{A_0}]]=E(X)$, 推导一下：

$E[E[X|mathscr{A_0}]]=E[I_mathscr{X}E[X|mathscr{A_0}]]=E[I_mathscr{X}X]

=E(X)$

这个性质是双期望公式，非常有用，在各种定理证明时都经常用到.

If $Y$对$mathscr{A_0}$可测，且$E[abs{XY}]

$E[XY| mathscr{A_0}]=YE[X|mathscr{A_0}]$或者$E[h(T)f(X)|T]=h(T)E[f(x)|T]$.

这个的推导其实我有点没能理解，到时候再拿出来写一下，如果有问题可以评论区问

我怎么推导的.

Jensen's inquality

$phi:(a,b)rightarrow R$, 其为convex且有$-inftyleq a

$P(Xin(a,b))=1,E(abs{phi(X)})

这个和我们之前见过的Jensen's inquality没太大区别，都是要求凸函数. 我们还可以

回想起，之前学过的Jensen's inquality等号成立当且仅当对$g(x)在x=EX处的切线

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l(x)=a+bx，有P(g(X)=a+bX)=1$.

MCT(单调收敛定理):

$X_nleq X_{n+1} a.s., X=lim_{nrightarrowinfty}X_n a.s.$，则有：

$lim_{nrightarrowinfty}E[X_n|mathscr{A_0}]=E[X|mathscr(A_0)]a.s.$

单调收敛定理和控制收敛定理是在学习概率论时候非常重要的两个定理，在此处MCT

对几乎处处都成立，而我们在学习期望的MCT时，有的只是如果$0leq X_nrightarrow

X,则有E(X_n)rightarrow E(X)$，即极限与期望可以交换顺序. 另外我们知道，收敛一定

几乎处处收敛，故而条件期望的MCT对于收敛而言自然也是成立的.

(1) DCT(控制收敛定理):

若$X_nrightarrow X$, 并且存在一个控制随机变量$Zin L_1$使得$abs{X_n}leq

Z$, 则有：

$E[X_n]rightarrow E(X)$且$Eabs{X_n-X}rightarrow0.$

上述写的并非是对于条件期望而言的DCT，只是写完MCT忍不住将DCT也写了一

下，区别就在于如果我们不能确定$X$大于0和单调性的话，那么MCT就用不了了，只能

用DCT找到一个控制随机变量来控制$X_n$的收敛.

(2) DCT(控制收敛定理)：

$abs{X_n}leq Y 对任意n成立，并且E(abs{Y})

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则

$E[X_n|mathscr{A_0}]rightarrow E[X|mathscr{A_0}] a.s.$

可以看到，在此处也说明了DCT对几乎处处收敛成立.$Eabs{Y}

明$Yin L_1$

Fatou's lemma:

$0leq X_n$对任意n都成立，则有：

$E[liminf_{n rightarrowinfty}X_n|mathscr{A_0}]leq

liminf_{nrightarrowinfty}E[X_n|mathscr{A_0}]a.s.$

Fatou's lemma也挺重要的，概率论考试里经常考到. 其实观察一下即可知道，其是

由MCT推导得到的.

ANOVA:

$Var(X)=Var(E[X|mathscr{A_0}])+E[Var[X|mathscr{A_0}]]$

这个也可叫做方差恒等式.

For measuable $X,Y$ on $(mathscr{X,A},P)$, 有：

$E[YE[X|mathscr{A_0}]]=E[XE[y|mathscr{A_0}]]$

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这个的推导可以用到上述提到的性质，但是我在推导时也并不是很清晰.

以上就是总结的条件期望的各种性质了，实际上对于数学期望的各种性质对于条件期

望也是成立的.在此只不过是再总结了一下，感觉与条件期望更为相关的应该就是双期望公

式以及方差恒等式，还有就是性质6和性质12. 另外一些性质我在此没有进行总结，因为

感觉较为显然.

最后提出一个性质，我不是很能理解

$E[X|mathscr{A_0}]=int _0^infty P(X>t|mathscr{A_0} dt$

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