2024年4月17日发(作者：诺基亚5320游戏)

18．2 特殊的平行四边形

18．2.1 矩 形

第1课时 矩形的性质

角

在矩形ABCD中，O是BC的中

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为

(重点) 24cm，则AB长为( )

2．会用矩形的性质定理及推论进行推A．1cm B．2cm C．2.5cm

导证明；(重点) D．4cm

3．会综合运用矩形的性质定理、推论解析：在矩形ABCD中，O是BC的中

以及特殊三角形的性质进行证明与计点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到

算．(难点) △ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝

45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝

2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB

＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.

方法总结：解题时矩形具有平行四边形

一、情境导入 的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩

如图，用四段木条做一个平行四边形的形具备而一般平行四边形不具备的性质．

活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点【类型二】 运用矩形的性质解决有关

D，你会发现什么？ 面积问题

可以发现，角的大小改变了，但不管如

何，它仍然保持平行四边形的形状．

如图，矩形ABCD的对角线的交

点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点

E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD

的面积的( )

1113

A. B. C. D.

54310

我们若改变平行四边形的内角，使其一

个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行

四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即

矩形，如图所示．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】 运用矩形的性质求线段或

解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，

OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和

∠ABO＝∠CDO，







OB＝OD，





∠BOE＝∠DOF，

△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S

△

BOE

＝S

△

DOF

，

∴S

1

阴影

＝S

△

AOB

＝

4

S

矩形

ABCD

.故选B.

方法总结：运用矩形的性质，通过证明

全等三角形进行转化，将求不规则图形的面

积转化为求简单图形面积是解题的关键．

【类型三】 运用矩形的性质证明线段

相等

如图，在矩形ABCD中，以顶点

B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边

于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.

求证：BF＝AE.

解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，

∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出

△BFC≌△EAB，进而得出答案．

证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A

＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，

∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE.



在△BFC和△EAB中，



∠A＝∠CFB，



∠AEB＝∠FBC，





EB＝BC，

∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.

方法总结：涉及与矩形性质有关的线段

的证明，可运用题设条件结合三角形全等进

行证明，一般是将两条线段转化到一对全等

三角形中进行证明．

【类型四】 运用矩形的性质证明角相

等

如图，在矩形ABCD中，E、F分

别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.

求证：AE平分∠BAD.

解析：要证AE平分∠BAD，可转化为

△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又

AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角

形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩

形的性质，即可求证．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B

＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF

＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋

∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF

＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，





∠BFE＝∠CED，



EF＝ED，





∠BEF＝∠EDC，

∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE

＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD

＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.

方法总结：矩形的问题可以转化到直角

三角形或等腰三角形中去解决．

探究点二：直角三角形斜边上的中线的

性质

如图，在△ABC中，AD是高，E、

F分别是AB、AC的中点．

(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF

的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD.

解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝

1

2

AB，

DF＝AF＝

1

2

AC，再根据四边形的周长的公

式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距

离相等的点在线段的垂直平分线上”证明

即可．

(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分

别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝

11

2

AB＝

2

×10＝5，DF＝AF＝

11

2

AC＝

2

×8＝4，∴四

边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5

＋5＋4＋4＝18；

(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、

F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平

分AD.

方法总结：当已知条件含有线段的中

点、直角三角形的条件时，可联想直角三角

形斜边上的中线的性质进行求解．

三、板书设计

1．矩形的性质

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线

相等．

2．直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半．

通过多媒体演示知识的探究过程，让学

生在体验、实践的过程中有更直观地认识，

扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行

四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，

使课堂教学真正落实到学生的发展上．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

(1)AC的长；

； (2)S

△

ABC

1．经历探索及验证勾股定理的过程，(3)CD的长．

体会数形结合的思想；(重点) 解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理

的计算题；(重点) 即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面

3．了解利用拼图验证勾股定理的方积公式即可求出S

△

ABC

；(3)根据面积公式得

法．(难点) 到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB

2

－BC

2

＝

12cm；

11

(2)S

△

ABC

＝CB·AC＝×5×12＝

22

一、情境导入

30(cm

2

)；

11

(3)∵S

△

ABC

＝AC·BC＝CD·AB，∴CD

22

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态

优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它

由若干个图形组成，而每个图形的基本元素

是三个正方形和一个直角三角形．各组图形

大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说

说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

＝

AC·BC60

＝cm.

AB13

方法总结：解答此类问题，一般是先利

用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法

表示出同一个直角三角形的面积，然后根据

面积相等得出一个方程，再解这个方程即

可．

【类型二】 分类讨论思想在勾股定理

中的应用

在△ABC中，AB＝15，AC＝13，

BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

解析：本题应分△ABC为锐角三角形和

钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB

2

－AD

2

＝

15

2

－12

2

＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC

2

－AD

2

＝13

2

－12

2

＝5，∴BC＝5＋9

＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②

所示．在Rt△ABD中，BD＝AB

2

－AD

2

＝

15

2

－12

2

＝9.在Rt△ACD中，CD＝

AC

2

－AD

2

＝13

2

－12

2

＝5，∴BC＝9－5

＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴

当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长

为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC

的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存

在的可能情况，可作出相应的图形，判断是

否符合题意．

【类型三】 勾股定理的证明

探索与研究：

方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC

绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所

以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正

方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，

而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和

Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾

股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全

等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根

据图示再写出一种证明勾股定理的方法

吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE面积

等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行

解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的

面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之

和解答．

解：方法1：S

正方形

ACFD

＝S

四边形

ABFE

＝S

△

BAE

＋S

2

＝

1

2

c

2

＋

1

△

BFE

，即b

2

(b＋a)(b－a)，整理

得2b

2

＝c

2

＋b

2

－a

2

，∴a

2

＋b

2

＝c

2

；

方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其

直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得

到．∵S

四边形

ABCD

＝S

△

ABC

＋S

△

ACD

，S

四边形

ABCD

＝S

△

ABD

＋S

△

BCD

，∴S

△

ABC

＋S

△

ACD

＝S

△

ABD

＋

S即

1

2

b

2

＋

1

2

ab＝

1

2

c

2

＋

1

△

BCD

，

2

a(b－a)，整理得

b

2

＋ab＝c

2

＋a(b－a)，b

2

＋ab＝c

2

＋ab－a

2

，

∴a

2

＋b

2

＝c

2

.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全

等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后

利用大图形的面积等于几个小图形的面积

和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面

积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的

面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得

正方形A、B的面积和为S

1

，正方形C、D

的面积和为S

2

，S

1

＋S

2

＝S

3

，即S

3

＝2＋5＋1

＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A、B、C、

D的边长正好是两个直角三角形的四条直

角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、

B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．

三、板书设计

1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别

为a，b，斜边长为c，那么a

2

＋b

2

＝c

2

.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、

“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯

图”．

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让

学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效

率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也

是本节课的难点，为了突破这一难点，设计

一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从

形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，

师生共同探究突破本节课的难点．