2024年5月10日发(作者：matebook d系列)

2012年浙江省宁波市余姚中学自主招生数学模拟试卷（一）

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．（4分）已知如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥

BA，若⊙O的半径为，则DE的长为（ ）

A． B． C．﹣1 D．

2．（4分）如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（ ）

A．3 B． C． D．

3．（4分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是△ABC的两条

中线，且CD⊥BE，那么a：b：c＝（ ）

A．1：2：3

22

B．3：2：1 C． D．

4．（4分）已知：m+n+mn+m﹣n＝﹣1，则

A．﹣1 B．0

的值等于（ ）

C．1 D．2

5．（4分）如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC

的延长线于点B．若HB＝6cm，BC＝4cm，则⊙O的直径为（ ）

A．cm B．

2

cm C．13cm D．cm

6．（4分）若a，b为方程x﹣6x+7＝0的两个根，则

A． B．

+

C．

的值为（ ）

D．

7．（4分）已知y＝

（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）

第1页（共18页）

A．2﹣1 B．4﹣2 C．3﹣2 D．2﹣2

8．（4分）如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥

AC，连AP、BP、CP，如果S

△

AFP

+S

△

PCD

+S

△

BPE

＝，那么△ABC的内切圆半径为（ ）

A．1 B． C．2 D．

9．（4分）边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正方形

OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y＝ax（a＜0）的图

象上，则a的值为（ ）

2

A． B．﹣1 C． D．

10．（4分）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满

足AM⊥AN．△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、

BC的延长线交于P、Q，则

A．1 B．0.5

＝（ ）

C．2 D．1.5

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）计算：＝ ．

，b＝，12．（4分）[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a﹣[a]，设a＝

则a+（1+

2

）ab＝ ．

13．（4分）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则此四边形

的面积是 ．

14．（4分）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，

则矩形ABCD的周长为 ．

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15．（4分）已知关于x的二次方程ax+bx+c＝0没有实数根，一位老师改动了方程的二次项

系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符

号，所得到的新方程的两个根为﹣2和6，那么＝ ．

2

16．（4分）如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O

与两个半圆及PQ都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是 ．

三、解答题（共5小题，满分52分）

17．（8分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x﹣2x）

+5（x+x）+12＝0的两个实根，求实数m的值．

18．（10分）当﹣1≤x≤2时，求函数y＝f（x）＝2x﹣4ax+a+2a+2的最小值，并求最小值

为﹣1时，a的所有可能的值．

19．（12分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月

每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月

销售额只有8万元．

（1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500

元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进

这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

（3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4

手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案

获利相同，a应取何值？

20．（10分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内

作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆

O于点E，求AE的长．

第3页（共18页）

22

2

2

21．（12分）如图所示，对称轴为x＝3的抛物线y＝ax+2x与x轴相交于点B，O．

（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动

点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，

求t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三

角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2

第4页（共18页）

2012年浙江省宁波市余姚中学自主招生数学模拟试卷

（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．【解答】解：连接OC交EF于M，延长CM交AB于点H．连接OA，连接OE．

在直角△OAH中，AH＝OA•cos30°＝

∴AB＝2AH＝4

又∵弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA．

∴DG＝AB＝2，

在直角△ACH中，CH＝AC•sin60°＝4×

∴OH＝CH＝

HM＝CH＝，

，

＝，

，

＝2，

×＝2

∴OM＝HM﹣OH＝

在直角△OME中，EM＝

∴EF＝2

∴ED＝

故选：C．

，

＝﹣1．

2．【解答】解：将y＝3﹣|x|代入|x|y+x＝0，得x﹣x+3|x|＝0．

（1）当x＞0时，x﹣x+3x＝0，方程x﹣x+3＝0无实根；

（2）当x＜0时，x﹣x﹣3x＝0，得方程x﹣x﹣3＝0

解得，正根舍去，从而．

322

322

332

第5页（共18页）

于是

故

故选：D．

．

．

3．【解答】解：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的

边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．

可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）．

∵CD和BE为中线，

∴D，E为中点，则D（，），E（0，）．

则直线BE的斜率是：＝﹣；

直线CD的斜率是：＝．

∵CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为﹣1，即﹣

∴b＝2a．

∴a：b＝1：

222

22

•＝﹣1．

．

又∵a+b＝c．

∴a：b：c＝1：

故选：D．

：．

4．【解答】解：整理得：m+n+mn+m﹣n+1＝0

（m+n）+（m+1）+（n﹣1）＝0，

∴m+n＝0，m+1＝0，n﹣1＝0，

解得m＝﹣1，n＝1，

222

22

第6页（共18页）

∴＝﹣1+1＝0，

故选：B．

5．【解答】解：连接PH，OH，

∵H是的中点，

∴∠HPC＝∠APH，∠AOH＝∠APC，

∴OH∥BC，

即OH⊥BH，

∴HB是⊙O的切线；

∵PB是⊙O的割线，HB＝6cm，BC＝4cm，

∴HB＝BC•BP，

∴36＝4BP，

∴BP＝9，

∴PH＝＝＝；

2

∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC＝∠APH，

∴Rt△BPH∽Rt△HPA，

∴＝，

∴AP＝

故选：C．

＝＝13cm；

6．【解答】解：∵a，b为方程x﹣6x+7＝0的两个根，

∴a+b＝6，ab＝7，且a＞0，b＞0，

原式＝

＝+

+

2

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＝

＝

＝

＝

+

•

×

．

故选：B．

7．【解答】解：∵y＝

∴y＝4+2

∵1≤x≤5，

当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，

2

+

＝4+2×

，

，

故当x＝1或5时，y取得最小值2，

当x取1与5中间值3时，y取得最大值2

故y的最大值与最小值的差为2

故选：D．

﹣2，

，

8．【解答】解：过P点作正三角形的三边的平行线，

于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，

四边形ASPM，四边形NCDP，平行四边形PQBR是平行四边形，

故可知黑色部分的面积＝白色部分的面积，

又知S

△

AFP

+S

△

PCD

+S

△

BPE

＝

故知S

△

ABC

＝3

2

，

，

， S

△

ABC

＝ABsin60°＝3

故AB＝2，

三角形ABC的高h＝3，

△ABC的内切圆半径r＝h＝1．

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故选：A．

9．【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，

∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，

∴∠AOE＝75°，

∵∠AOB＝45°，

∴∠BOE＝30°，

∵OA＝1，

∴OB＝，

∵∠BEO＝90°，

∴BE＝OB＝

∴OE＝，

，﹣），

，

，

∴点B坐标为（

2

代入y＝ax（a＜0）得a＝﹣

∴y＝﹣

故选：D．

x．

2

10．【解答】解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，

则OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，

∵∠BAC＝90°，

∴四边形AEOF是正方形，

∴AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵∠BAC＝90°，M为斜边BC上中线，

∴AM＝CM＝BM，

∴∠MAC＝∠MCA，

∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，

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