2023年8月3日发(作者：)

第四章 回归分析

回归分析就是根据实验数据或历史数据，研究变量之间的相关关系，建立起一个数学模型，进而将此模型用于预测或控制.如果研究两个变量x,y之间的关系，则称为一元回归模型（即一元函数拟合），如果研究变量y与多个变量x1,x2,......,回归模型（即多元函数拟合）。

xm之间的关系，则称为多元多项式拟合一元函数拟合

非线性拟合

曲线拟合 多元函数拟合

多元线性拟合多元非线性拟合实验4.1多项式拟合

实验目的

(1) 掌握多项式回归的Matlab命令，

(2) 熟练计算残差平方和与可决系数，并能据此进行拟合效果分析。

一元回归模型中，如果f(x)c0c1xc2x2cmxm是多项式函数，则称为多项式回归，此时的参数即多项式的系数；如果f(x)为指数函数、对数函数、幂函数或三角函数比如a(1be),ab,sinaxcosbx，则称为非线性,ablnx等(a,b,c是待定的参数）拟合.

cxx实验内容

在Matlab中多项式拟合与求值的命令如下：

p=polyfit(x,y,n)

其中输入：x为自变量，y为因变量，n是多项式的阶数；

输出：p是按降幂排列的多项式的系数.

polyval(p,x) %计算以p为系数的多项式在x处的函数值。

对于多项式拟合一般有以下几个步骤：

（1）首先作出数据的散点图，根据散点图，确定多项式的阶数。

（2）用多项式拟合的命令polyfit求其系数；

（3）根据多项式的值计算残差平方和与可决系数，比较拟合效果。

计算可决系数的公式为 R21(yi1ni1niˆi)2y

(yiy)21n22其中

yyi,显然0R1，R越趋近于1表明拟合效果越好.

ni1【例题4.1】为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，照射次数记为t，照射后的细菌数y如表4.1所示：

表4.1 X射线照射次数与残留细菌数

t

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

56

10

38

11

36

12

32

13

21

14

19

15

15 352 211 197 160 142 106 104 60

试求：（1）y与t的二次函数与三次函数关系；（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图；（3）建立评价标准判断二次函数与三次函数拟合效果；（4）根据问题的实际意义你认为选择多项式函数是否合适？

解：首先做散点图：（见图4.1）

t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15];

y=[ 352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15];

plot(t,y,'-o')

图4.1 原始数据散点图

根据题目要求，求y与t的二次函数关系，输入命令：

p=polyfit(t,y,2)

得到p =1.9897 -51.1394 347.8967，

即二次函数为：

y21.9897t51.1394t347.8967

同理可得三次函数为：y3 -0.1777t 6.2557t -79.3303t

 391.4095在同一坐标系内作出原始数据、二次函数、三次函数的图形（见图4.2）。

继续输入命令：

y2=1.9897*t.^2-51.1394*t+347.8967 ;

y3=-0.1777*t.^3+6.2557*t.^2-79.3303*t+391.4095 ;

plot(t,y,'*',t,y2,'o',t,y3,'+'),

322legend('原始数据','二次函数','三次函数')

图4.2 原始数据与拟合曲线图形

我们分别计算二次函数与三次函数的可决系数：

R2=1-sum((y-y2).^2)/sum((y-mean(y)).^2),

R3=1-sum((y-y3).^2)/sum((y-mean(y)).^2)

因为R3 =0.9673> 0.9530=R2，所以三次函数拟合效果优于二次函数.

从问题的实际意义可知，随着照射次数的增加残留的细菌数减少，且开始时减少幅度较大，但随着照射次数增加，减少的速度变得缓慢.而多项式函数随着自变量的增加，函数值趋向于无穷大，因此如果在有限的照射次数内用多项式拟合是可以的，如果照射次数超过15次，则拟合效果开始变差，比如t=16，用二次函数计算出细菌残留数为39.0396，显然与实际不相符合.