2023年8月3日发(作者：)

多项式拟合

一 最小二乘法的基本原理

从整体上考虑近似函数

同所给数据点

(i=0,1,…,m)误差

(i=0,1,…,m)小，常用的方法有以下三种：一是误差

(i=0,1,…,m)绝对值的最大值

，即误差 向量

的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和

的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和

来 度量误差

(i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类

中,求

,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

=

从几何意义上讲，就是寻求与给定点

(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线

（图6-1）。函数

称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数

的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

类

可有不同的选取方法.

6—1

二 多项式拟合

假设给定数据点

(i=0,1,…,m)，

为所有次数不超过

的多项式构成的函数类，现求一

,使得

(1)

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的

称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然

为

的多元函数，因此上述问题即为求

的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得

(2)

即

(3)

（3）是关于

的线性方程组，用矩阵表示为

(4)

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5)

可以证明，式（5）中的

满足式（1），即

为所求的拟合多项式。我们把

称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得

(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；

(2) 列表计算

和

；

(3) 写出正规方程组，求出

；(4) 写出拟合多项式

。

在实际应用中，

或

；当

时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。

例1 测得铜导线在温度

(℃)时的电阻

如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。 i

(℃)

0

19.1

76.30

1

25.0

77.80

2

30.1

79.25

3

36.0

80.80

4

40.0

82.35

5

45.1

83.90

6

50.0

85.10

解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

列表如下

i

0

1

2

3

4

5

6

19.1

25.0

30.1

36.0

40.0

45.1

50.0

245.3

76.30

77.80

79.25

80.80

82.35

83.90

85.10

565.5

364.81

625.00

906.01

1296.00

1600.00

2034.01

2500.00

9325.83

1457.330

1945.000

2385.425

2908.800

3294.000

3783.890

4255.000

20029.445

正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。6-2

例2

已知实验数据如下表

i

0

1

1

3

2

4

3

5

4

6

5

7

6

8

7

9

8

10 10 5 4 2 1

1 2 3 4

试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为

列表如下

I

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

3

4

5

6

7

8

9

10

53

10

5

4

2

1

1

2

3

4

32

1

9

16

25

36

49

64

81

100

381

1

27

64

125

216

343

512

729

1000

3017

1

81

256

625

1296

2401

4096

6561

10000

25317

10

15

16

10

6

7

16

27

40

147

10

45

64

50

36

49

128

243

400

1025

得正规方程组解得

故拟合多项式为

*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点

互异，则法方程组（4）的解存在唯一。证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组 （7）有非零解。式(7)可写为

（8）

将式（8）中第j个方程乘以

(j=0,1,…，n)，然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加，得

因为

其中

所以

(i=0,1,…,m)

是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相异零点，由代数基本定理，必须有

，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组（4）必有唯一解 。定理2 设

是正规方程组（4）的解，则

是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。证 只需证明，对任意一组数

组成的多项式

，恒有即可。

因为

(k=0,1,…，n)是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有故

为最小二乘拟合多项式。

*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且

①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；

②拟合节点分布的区间

偏离原点越远，病态越严重；③

(i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越严重。为了克服以上缺点，一般采用以下措施： ①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；

②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点

关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为：

(9)

③对平移后的节点

(i=0,1,…，m),再作压缩或扩张处理： （10）其中

,（r是拟合次数） （11）

经过这样调整可以使

的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点

，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对1～4次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下：拟合次数

1

=1

2

<9.9

3

<50.3

4

<435

④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种，见第三节。

例如 m=19,

=328,h=1, =

+ih，i=0,1,…，19，即节点 分布在［328,347］，作二次多项式拟合时

① 直接用

构造正规方程组系数矩阵

，计算可得严重病态，拟合结果完全不能用。② 作平移变换

用

构造正规方程组系数矩阵

，计算可得

比

降低了13个数量级，病态显著改善，拟合效果较好。③ 取压缩因子作压缩变换

用

构造正规方程组系数矩阵

，计算可得又比

降低了3个数量级，是良态的方程组，拟合效果十分理想。

如有必要，在得到的拟合多项式

中使用原来节点所对应的变量x，可写为

仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。