2024年4月28日发(作者：)

,.

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

如果

x

n

a

,那么

x

叫做

a

的

n

次方根

当

n

为奇数时,正数的

n

次方根是一个正数,负数的

n

次

方根是一个负数

当

n

为偶数时,正数的

n

次方根有两个,它们互为相反数

（2）．两个重要公式

n为奇数



a



n

n

①

a





a(a0)

；



|a|



a(a0)

n为偶数





n

②

(

n

a)a

（注意

a

必须使

n

a

有意义）。

n

符号表示

备注

n1且nN



零的

n

次方根是零

a



n

a(a0)

负数没有偶次方根

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:

a

m

n



n

a

m

(a0,m、nN



,且n1)

;

m

n

②正数的负分数指数幂:

a





1

a

m

n



1

n

a

m

(a0,m、nN



,且n1)

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a

r

a

s

=a

r+s

(a>0,r、s∈Q);

②(a

r

)

s

=a

rs

(a>0,r、s∈Q);

③(ab)

r

=a

r

b

s

(a>0,b>0,r∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

,.

y=a

x

图象

a>1 0

定义域

值域

性质

R

（0，+



）

（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1;

x<0时,0

(2) 当x>0时，0

x<0时, y>1

(3)在（-



，+



）上是增函数 （3）在（-



，+



）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a

x

,（2）y=b

x,

（3）,y=c

x

（4）,y=d

x

的图象，如何确

定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

c

1

>d

1

>1>a

1

>b

1

,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果

aN(a0且a1)

，那么数

x

叫做以

a

为底，

N

的对数，记作

xlog

a

，其中

a

叫做对数的底数，

N

叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式

一般对数

常用对数

自然对数

2、对数的性质与运算法则

1a

（1）对数的性质（

a0,且a1

）：①

log

a

0

，②

log

a

1

，③

a

x

N

特点

底数为

a

a0,且a1

底数为10

底数为e

记法

log

a

N

lgN

lnN

log

a

N

N

，④

log

a

a

N

。

N