2024年5月2日发(作者：)

约分与通分

【约分】

知识点一:最大公因数

（1）几个数 的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数

的 。

（2）当两个数成倍数关系时， 就是它们的最大公因数。

（3）当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是 。

（4） 叫做互质数。

知识点二:求两个数的最大公因数的方法

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个。

（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出较大数的因数，再看哪一个因数最大。

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这个两个数公有的质

因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数

（4）短除法：先把这两个数公有的质因数按从小到大的的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，

直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

知识点三：约分

（1）约分的定义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

（2）约分的方法：1.逐次约分法：用分数的分子和分母的公因数逐次去除分子和分母，直到约成最

简分数2.一次约分法：用分数和分子和分母的最大公因数去除分子和分母，能直接约成最简分数。

（3）最简分数的定义：分子和分母只有只有公因数1的分数叫做最简分数。

【通分】

知识点一：最小公倍数

一． 叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的 。

知识点二：求两个数的最小公倍数的方法

（1)列举法：先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

（2）筛选法：先写出两个数中较大数（或较小数）的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出

较小数（或较大数）的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数。

（3）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，公有的质因数对齐写，各自特有的质因数单独写，

然后有的质因数取一个，各自特有的质因数都取出来，把它们连乘，所得的积就是它们的最小公倍

数。

（4）短除法：用连个数公有的质因数按从小达到的顺序依次作为除数连续去除这两个数，一直除到

所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公

倍数。

（5）两个数的公倍数与最小公倍数的关系：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。

知识点三：求两个数最小公倍数的特殊情况

（1）当两个数成倍数关系时， 就是它们的最小公倍数。

（2）当两个数只有公因数1时，这两个数的 就是它们的最小公倍数。

知识点四：通分

（1）概念：把异分母分数分别化成和原来分数 的 分数，叫做通分。

（2）方法：通分时用原分母的 做分母（为了计算简便，通常选用 作分母），然后把每个

分数都化成用这个公倍数做分母的分数。

知识点五：拓展提高

（1）约分与通分的相同点和不同点

相同点：都是依据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。

不同点：

①约分只对一个分数进行，而通分至少对两个分数进行；

②约分是分子和分母同时除以一个不等于0的数，而通分则是分子和分母同时乘以一个不等于0

的数；

③约分的结果是最简分数，通分的结果是同分母分数。

（2）把异分母分数化成同分母分数叫做通分；把分子不同的分数化成同分子分数，不是通分，是比

较分数大小的一种方法。

（3）把带分数进行通分时，整数部分不变，只需把分数部分通分，但不能丢掉整数部分。

【约分】

例1、知识回顾：怎样求18和27的最大公因数？

例2、找出下列每组数的最大公因数，你发现了什么？

4和8 12和36 1和7 8和9

例3、找出下列每组数的公因数，你发现了什么？

5和7 7和9 14和15

综合运用：运用求最大公因数的方法解决应用中的实际问题

例4、赵老师将一条50dm长的红彩带和一条43dm长的绿彩带截成同样长的小段，结果红彩带剩余

2dm，绿彩带剩余3dm，所截小段最长是多少分米？各能截成多少段长度相等的小段？

综合应用：运用转换法解决实际生活中分东西问题

例5、张老师给全班同学带来了一些糖果。如果把110块糖果平均分给全班同学，则多5块；如果

把210块糖果平均分给全班同学，则正好分完；如果把240块糖果平均分给全班同学，则少5块。

张老师的班级最多有多少名同学？

例6、有一块木料长3.2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最大的正方

体，总共可锯成多少块？（木料不浪费）

考点：约分的概念和方法

例7、把

例8、分数

例9、把一个分数约分时，先用2约了两次，又用5约了一次，约成的最简分数是

是多少?

【通分】

例1、求6和8的公倍数及最小公倍数

例2、找出下列每组数的最小公倍数，你有什么发现？

24

化成分子和分母比较小且分数大小不变的分数。

30

51

的分子、分母同时加上一个数，约分后得，同时加上的这个数是多少？

132

5

，原来的分数

6

（1）12和36 5和25

（2）3和11 8和9

考点：运用假设法和推理法解决有关公倍数的问题

例3、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

例4、园林工人在颐和园昆明湖边每隔4米一棵树，一共栽了75棵。现在要改成每隔6米栽一棵树，

那么不用移栽的树有多少棵？

考点：用公倍数、最小公倍数的知识解决实际问题

例5、甲每秒跑3m,乙每秒跑4m ,丙每秒跑2m，三人沿着600m的环形跑道从同一地点同时同方向

出发，至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？

例6、一盒围棋子，4颗4颗地数多3颗，6颗6颗地数多5颗，15颗15颗地数多14颗，这盒围棋

子的数量在150～200颗之间，问这盒围棋子共有多少颗？

例7、加工某种机器零件要经过三道工序。第一道工序每人每小时可完成6个，第二道工序每人每

小时可完成5个，第三道工序每人每小时可完成15个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几

人？

例8、已知自然数a和b的最小公倍数是140，最大公因数是5，求a+b的最大值是多少？

例9、一个最简分数，如果它的分子加上一个数，那么这个分数就和

一个数，那么这个分数就和

例10、小红特别喜欢数学。有一天，老师问她“:

2

相等；如果它的分子减去同

3

5

相等。求原来的最简分数是多少？

12

2

，，这三个分数怎样比较大小？”

2

小红发现无论是转化为同分母分数，还是转化为同分子分数都很麻烦。有没有简单方法呢？大家帮

她比较一下。

基础演练

1、写出下面各分数分子和分母的最大公因数。

5

9

（ ）

21

42

（ ）

24

36

（ ）

20

30

（ ）

15

24

（ ）

33

44

（ ）

2.先把下面的分数约分，再按从小到大的顺序排列。

24235

16

28

84

56

96

3、求下面每组数的最小公倍数。

9

24