2024年2月23日发(作者：)

解三角形之

第一节 任意角和弧度制

1.角的分类：

（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角

（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角

（3）零角：一条射线不做旋转

2．象限角的概念：

（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。

（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360

° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．

注意：∈ k∈Z

∈ α是任一角；

∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

∈ 角α + k·720

°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例如：

第二象限角的集合为k36090k360180,k；

第三象限角的集合为k360180k360270,k；

第四象限角的集合为k360270k360360,k；

终边在x轴上的角的集合为k180,k；

终边在y轴上的角的集合为k18090,k；

终边在坐标轴上的角的集合为k90,k.

第一象限角的集合为k360k36090,k；

3.由角所在象限判断所在象限：

n

2

1 / 7

∈

∈

∈

∈

4.弧度制：

（1）角度制：规定把周角的2∈、∈

∈、∈

∈、∈

∈、∈

2221作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

360（2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；

在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

（3）弧度制的性质：

∈ 半圆所对的圆心角为rr; ∈ 整圆所对的圆心角为2r2.

rlr∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数．

∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|= .

注：角度制是60进制，弧度制是十进制：

5．角度与弧度之间的转换：

∈ 将角度化为弧度：

3602；

180；1∈ 将弧度化为角度：

1800.01745rad；nnrad．

1802360；180)

180； rad(6．常规写法：

∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．

∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。

7．特殊角的弧度

角度

弧度

0° 30° 45° 60° 90°

120°

135° 150° 180° 270° 360°

0



432623

3

45



63

2

2 2 / 7

8．弧长公式

llR，其中的单位是弧度。

r121RlR

22扇形面积公式：S角度制表示弧长和面积：

nl360nSR2

3602R题型一：表示终边相同的角

【例1】试写出所有终边在直线y3x上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.

【例2】已知角α＝2 010°.

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.

【例3】已知，如图所示，

(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

【过关练习】

1..终边与坐标轴重合的角α的集合是( )

(A){α|α=k·360°，k∈Z} (B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}

(C){α|α=k·180°，k∈Z} (D){α|α=k·90°，k∈Z}

2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

3 / 7

3.如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________．

4.集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.

5.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．

题型二：象限角的判定

【例1】已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．

【例2】若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )

A．第一或第三象限 B．第二或第三象限

C．第二或第四象限 D．第三或第四象限

【过关练习】

1.若为第三象限角，求2、3所在象限，并在平面直角坐标系表示出来．

2.已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )

A．第一或第二象限

B．第二或第三象限

C．第一或第三象限

D．第二或第四象限

3.已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在______．(填写所有正确的序号)

①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限

4.－361°的终边落在( )

4 / 7

A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

题型三：角度弧度的换算

【例1】(1)把112°30′化成弧度；

7π (2)把－化为角度．

12

【例2】把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是( )

πA．－6π－

4πC．－8π－

4【过关练习】

1. 将下列各角度与弧度互化．

57(1)π；(2)－π；(3)－157°30′

126

2.已知α＝1 690°.

①把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；

②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．

7πB．－6π＋

47πD．－8π＋

4题型四：弧长扇形公式的应用

【例1】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

【例2】时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )

5 / 7

141477A.π B．－π C.π D．－π

331818

【过关练习】

1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )

4020200400A.π B.π C.π D.π

3333

2.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

3.一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

课后练习

【补救练习】

1.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．

2.与－1 692°终边相同的最大负角是________．

3.与－460°角终边相同的角的集合是( )

A．{α|α＝k·360°＋460°，k∈Z}

B．{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}

C．{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}

D．{α|α＝k·360°－260°，k∈Z}

9π4.下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )

4A．2kπ＋45°(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

【巩固练习】

B．k·360°＋9π(k∈Z)

45πD．kπ＋(k∈Z)

4 6 / 7

1.已知角45，在区间[720,0]内找出所有与角有相同终边的角_____.

2．若α是第四象限角，则180°－α是( )

A．第一象限角

C．第三象限角

3.以下命题正确的是( )

A．第二象限角比第一象限角大

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则AB

B．第二象限角

D．第四象限角

C．若k·360°<α

D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)

114.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )

43A．－π B．－2π C．π D．－π

45.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )

1A.(2－sin 1 cos 1)R2

21B.R2sin 1cos 1

21C.R2

2D．(1－sin 1cos 1)R2

6.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．

【拔高练习】

1.集合M＝x|x＝k·180°k·180°±45°，k∈Z，P＝x|x＝±90°，k∈Z，则M、P之间的关系为 。

24π2.若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )

3A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9

33.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．

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