2024年4月24日发(作者：天翼宽带)

勾股定理与梯子问题

0

例1 如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离

为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落

了多少米．

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析解：首先根据图1求出AC的长度，再由图2求出CE的长度即可得出答案．因在

Rt△ABC中，AB＝2.5，BC＝1.5，根据勾股定理得

AC

在

AB

2

BC

2

2.5

2

1.5

2

2

．

0

Rt△DCE中，DE＝AB＝2.5，CD＝BC＋BD＝1.5＋0.5＝2．

同样根据勾股定理可得

CE

DE

2

CD

2

2.5

2

2

2

1.5

．

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则AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（米）．即梯子顶端A下落了0.5米到达点E．

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二、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系

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例2 如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离

为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外

移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶

端B下降至 B′，那么BB′

0

①等于1米；②大于1米；③小于1米．

其中正确结论的序号是________．

析解：在Rt△ABO中，因

AB

0

0

BO

2

AO

2

2

2

7

2

53

，

当其下滑到Rt△A′OB′位置时，有

A



B



AB53

，又因A′O=3，则根据勾股定理可得

0

B



O

选③．

11

，由此可知应

A



B



2

A



O

2

53944211

，则

B



B721

0

0

勾股定理中的思想方法

勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在

本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供

大家参考：

(1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同

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一个图形的面积，从而列出等式解决问题．

0

A

例1已知 △ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD

的长．

0

D

C

图1

B

分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC，然后用不同的方式表示△ABC的面积，进

而求出CD的长．

解：如图1 ，∵△ABC是直角三角形，∴AC

2

＋BC

2

＝AB

2

，即AC

2

＝5

2

-3

2

，∴AC=4（㎝），

0

又S

△ABC

＝

11

BC



AC

34

BC×AC＝AB×CD，∴ CD＝

＝＝2.4（cm）．

22

AB

5

0

(2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考

虑添加辅助线构造直角三角形．

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例2 如图2，已知△ABC中， ∠B＝30°， ∠C＝45°， AB＝4， AC＝

22

．求△ABC

的面积．

0

A

分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股

定理来解决，可考虑作BC边上的高，构造直角三角形来解决．

0

解：过点A作ACD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∵AB＝4， ∠B＝30°∴AD

＝

B

1

AB＝2，由勾股定理得，BD＝

AB

2



AD

2

＝

4

2

2

2

＝

23

． 在

2

22222

图2

D

C

Rt△ADC中，∵AC＝

22

， ∠C＝45°由勾股定理得AD

＋CD＝AC，即2AD＝(

22

) ，

∴AD＝CD＝2， ∴BC＝BD＋CD＝

23

＋2，∴S

△ABC

＝

＋2．

0

11

BC×AD＝(

23

＋2)·2＝

23

22

(3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中

还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化

的数学思想．

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例3 如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°， AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13．求

四边形ABCD的面积．

0

0

分析：由题意联想勾股数，可连接AC把四边形的问题转化为三角形的问题．

解：连接AC，在Rt△ABC中，AC

2

＝AB

2

＋BC

2

＝3

2

＋4

2

＝25，∴AC＝5．在

△ACD中，∵AC

2

＋CD

2

＝5

2

＋12

2

＝169， AD

2

＝13

2

＝169，∴AC

2

＋CD

2

＝AD

2

，

∴∠ACD＝90°．∴S

四边形

C

B

A

D

图3

11

AB



AC

AC



CD

＝＝S＋S＝＋

ABCD

△ABC△ACD

22

11

34

＋

512

＝6＋30＝36．

22

0

0

(4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论．

例4 已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．

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