2024年4月30日发(作者：)

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10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布

[知识梳理]

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

P

(1)均值：称E(X)＝x

1

p

1

＋x

2

p

2

＋…＋x

i

p

i

＋…＋x

n

p

n

为随机变量X的均值或数学

期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)D(X)＝



(x

i

－E(X))

2

p

i

为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值

i

＝

1

n

x

1

x

2

…

x

i

…

…

x

n

p

n

p

1

p

2

… p

i

E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

(2)D(aX＋b)＝a

2

D(X)(a，b为常数)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

X

E(X)

D(X)

4．正态曲线

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X服从两点分布

p

p(1－p)

X～B(n，p)

np

np(1－p)

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(1)正态曲线的定义

1

函数φ

μ

，

σ

(x)＝

2π·σ

态分布的标准差)．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；

1

③曲线在x＝μ处达到峰值；

σ2π

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的

分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

5．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a



b

φ

μ

，

σ

(x)dx(即x



a

x－μ

2

－

2σ

2

e

，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，

称φ

μ

，

σ

(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正

＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分

布，记作X～N(μ，σ

2

)．

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

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