2024年5月1日发(作者：)

二维正态分布概率密度推导

在概率论和统计学中，正态分布是一种常见的概率分布，它的概率密度函数可以用来

描述许多自然现象和社会现象。在二维正态分布中，两个随机变量的联合分布是正态分布。

本文将介绍如何推导二维正态分布的概率密度函数。

首先，假设有两个独立的标准正态分布随机变量X和Y，它们的概率密度函数分别为

f(x)和g(y)，即：

f(x) = (1/√(2π))exp(-x^2/2)

g(y) = (1/√(2π))exp(-y^2/2)

其中，exp为指数函数，π为圆周率。

然后，我们定义两个常数μx和μy，分别表示X和Y的均值。我们还定义两个常数σx

和σy，分别表示X和Y的标准差。这样，我们就可以得到X和Y的联合分布密度函数：

h(x,y) = f(x)g(y)

根据多元正态分布的定义，如果两个随机变量的联合分布是正态分布，那么它们的边

缘分布也是正态分布，且它们之间存在线性关系。因此，我们需要确定二维正态分布的均

值向量和协方差矩阵，才能得到它的概率密度函数。

均值向量μ和协方差矩阵Σ的计算公式如下：

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μ = [μx, μy]^T

Σ = [[σx^2, ρσxσy], [ρσxσy, σy^2]]

其中，T表示矩阵的转置，ρ为X和Y之间的相关系数。二维正态分布的概率密度函

数为：

h(x,y) = (1/2πσxσy√(1-ρ^2))exp(-(1/2(1-ρ^2))[((x-μx)^2/σx^2)-2ρ(x-μx)(y-μ

y)/(σxσy)+((y-μy)^2/σy^2)])

其中，exp为指数函数，π为圆周率，σx、σy为标准差，ρ为相关系数，μx、μy为均

值。这样，我们就得到了二维正态分布的概率密度函数。

总之，二维正态分布是一种重要的概率分布，它的概率密度函数可以用来描述许多自

然现象和社会现象。通过本文的介绍，我们可以推导出二维正态分布的概率密度函数，有

助于我们更好地理解和应用它。

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