2024年4月28日发(作者：)

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.1 指数与指数函数 .............................................................................................................. 1

4.1.1 实数指数幂及其运算 ........................................................................................... 1

4.1.2 指数函数的性质与图像 ....................................................................................... 5

第1课时 指数函数的性质与图像 ....................................................................... 5

第2课时 指数函数的性质与图像的应用 ........................................................... 9

4.2 对数与对数函数 ............................................................................................................ 13

4.2.1 对数运算 ............................................................................................................. 13

4.2.2 对数运算法则 ................................................................................................. 17

4.2.3 对数函数的性质与图像 ..................................................................................... 20

第1课时 对数函数的性质与图像 ..................................................................... 20

第2课时 对数函数的性质与图像的应用 ......................................................... 23

4.3 指数函数与对数函数的关系 ........................................................................................ 27

4.4 幂函数............................................................................................................................ 30

4.5 增长速度的比较 ............................................................................................................ 35

4.6 函数的应用(二) ............................................................................................................. 38

4.1 指数与指数函数

4.1.1 实数指数幂及其运算

知识点

n次方根

(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x

n

＝a__，

则x称为a的n次方根．

(2)表示：

n为奇数

a∈R

n

x＝__a__

根式

nn

(1)当a有意义时，a称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

(2)性质：



__a__，n为奇数，

①(

a)

＝__a__；②

a

＝





__|a|__，n为偶数.

n

n

n为偶数

a＞0

n

x＝__±a__

a＝0

0

a＜0

不存在

n

n

分数指数幂的意义

正分数

指数幂

负分数

指数幂

无理数指数幂

当a＞0且t是无理数时，a

t

是一个确定的__实数__．

实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)

(1)a

r

a

s

＝__a

r

＋

s

__．

(2)(a

r

)

s

＝__a

rs

__．

(3)(ab)

r

＝__a

r

b

r

__．

题型

n次方根的概念及相关问题

典例剖析

典例1 (1)求使等式 a－3a

2

－9＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围；

1

n

n为正整数，a有意义，且a≠0时，规定a

n

＝__a__

n

m

m

nn

正分数

n

，a

n

＝__(a)

m

__＝a

m

1

s是正分数，a

s

有意义且a≠0时，规定a

－

s

＝__

a

s

__

(2)设－3＜x＜3，求x

2

－2x＋1－x

2

＋6x＋9的值．

[分析] (1)利用a

2

＝|a|进行讨论化简．

(2)利用限制条件去绝对值号．

[解析] (1)a－3a

2

－9＝a－3

2

a＋3

＝|a－3|a＋3，

要使|a－3|a＋3＝(3－a)a＋3成立，



a－3≤0，

需



解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．



a＋3≥0，

(2)原式＝x－1

2

－x＋3

2

＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x

＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．