2024年1月8日发(作者：)

指数与指数运算基础知识+经典练习题

指数与指数运算基础知识+经典练题

知识梳理：

1、根式

1）n次方根的定义

一般地，如果$x=a^n$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。当$n$为奇数时，正数的$n$次方根是一个正数，负数的$n$次方根是一个负数，这时，$a$的$n$次方根用符号$sqrt[n]{a}$表示。当$n$为偶数时，正数的$n$次方根有两个，这两个数互为相反数，这时正数$a$的$n$次方根用符号$pmsqrt[n]{a}$表示。

注：负数没有偶次方根。

任何数的任何次方根都是唯一的，记作$sqrt[n]{a}$。

2）根式

式子$sqrt[n]{a}$叫做根式，这里$n$叫根指数，$a$叫做被开方数。

注：

①$(sqrt[n]{a})^n=a$

②当$n$为奇数时，$sqrt[n]{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$sqrt[n]{a^n}=|a|$，即$sqrt[2]{a^2}=|a|$，$a>0$时，$sqrt[2]{a^2}=a$，$a<0$时，$sqrt[2]{a^2}=-a$。

2、分数指数幂

1）正数的正分数指数幂的意义是$a^m$。

2）正数的负分数指数幂的意义是$dfrac{1}{a^m}$。

dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$，$(a>0,m,nin N^*,n>1)$。

dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$。

3）$a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}$，$dfrac{1}{a^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{dfrac{1}{a^m}}$。

注：的正分数指数幂等于1，的负分数指数幂没有意义。

3、实数幂的运算性质

1）$a^a=a$。

a^r)^s=a^{rs}$，$(a>0,r,sin Q)$。

2）$(a^{-r})^s=dfrac{1}{a^{rs}}$，$(a>0,r,sin Q)$。

ab)^r=a^rb^r$，$(a>0,b>0,rin Q)$。

dfrac{a^r}{b^r}=(dfrac{a}{b})^r$，$(a>0,b>0,rin Q)$。

典型例题：

1、求值：

16^{-frac{4}{15}}$（1）$dfrac{8}{25}$（2）$dfrac{1}{8}$（3）$-dfrac{5}{8}$（4）$-dfrac{1}{5}$

sqrt[3]{dfrac{1}{8}}$（1）$dfrac{1}{4}$

2、计算$5+2^6+7-4^3-6-4^2$

3、计算

1）$6^{-frac{1}{4}}$（2）$(a-b)^2+5(b-a)^5$

4、用分数指数幂表示下列各式

1）$3a^5cdot 4a^3$，$12a^8$。

2）$a^3cdot a^3cdot a^3$，$a^9$。

5、计算下列各题

1）$(dfrac{2}{5}-2^2)+2^{-2}cdot(2^4)-sqrt{0.01}$，$-dfrac{13}{25}$。

2）$(a-2b-3)(-4a^{-1}b)div(12a^{-4}b^{-2})$，$dfrac{a^2}{3b}$。

6、有附加条件的计算问题

化简求值是考试中的常见问题，先化简，再求值是常用的解题方法。化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子化简有时也很难用上已知条件，所以有些题目经常对已知条件进行化简处理。化简时注意以下公式：

a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2)$。

a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

apm b=(apm b)(amp b)$。

例：（1）已知$a^{2n}cdot a^{3n}+a^{-3n}=2+1$，求$n$的值。

a^{2n}cdot a^{3n}+a^{-3n}=a^{5n}+a^{-3n}=dfrac{a^{5n+3n}+1}{a^{3n}}=dfrac{a^{8n}+1}{a^{3n}}=2+1=3$。

所以，$a^{8n}+1=3a^{3n}$。

令$x=a^{3n}$，则$x^{frac{8}{3}}+1=3x$。

令$y=x^{frac{1}{3}}$，则$y^8+1=3y^3$。

因为$y^8+1geq 2y^4$，$3y^3leq 3y^4$，所以$y^4geq

1$，即$ygeq 1$。

当$y=1$时，$x=1$，$n=0$。

当$y>1$时，$y^8+1>3y^4$，即$y^8-3y^4+1>0$。

令$z=y^4$，则$z^2-3z+1>0$。

解得$zdfrac{3+sqrt{5}}{2}$。

因为$y>0$，所以$y

所以，$n=0$或$n=dfrac{log_{a^3}sqrt[3]{dfrac{3+sqrt{5}}{2}}}{8}$。

2）已知$a+b+c=0$，求$dfrac{a}{b+c-a}+dfrac{b}{c+a-b}+dfrac{c}{a+b-c}$的值。

dfrac{a}{b+c-a}+dfrac{b}{c+a-b}+dfrac{c}{a+b-c}=dfrac{a^2}{ab+ac-a^2}+dfrac{b^2}{bc+ba-b^2}+dfrac{c^2}{ac+cb-c^2}$

dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}+dfrac{b^2}{(b-c)(b-a)}+dfrac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$。

因为$a+b+c=0$，所以$a^3+b^3+c^3=3abc$。

所以，$dfrac{a}{b+c-a}+dfrac{b}{c+a-b}+dfrac{c}{a+b-c}=0$。

1.求8+8的值=a（a为常数）。

已知2+2x和x+y=12，xy=9且x

指数与指数运算的练：

1.化简：

1）(ab)(-3ab)/(a^6b^6)

2）2x(x-2x^3)/3

3）(a^3b^2)/(3ab)^4

2.若(2x-6)x^2-5x+6=1，则x的值为（）

A。2

B。3

C。2或3

D。无答案

3.若a+a^-1=3，则a^2+a^-2的值为（）

A。9

B。6

C。7

D。11

4.若a<1，则化简4(2a-1)^2的结果是（）

A。2a-1

B。-2a-1

C。1-2a

D。-1-2a

5.若44a^2-4a+1=31-2a，则实数a的取值范围是（）

A。a=1/2

B。a=1或a=2

C。a=1/3

D。a≤-1/2

6.已知10=2^(2a+b),10=3^(3a-1)，则10^(b/3)等于（）

A。4

B。2

C。1

D。无答案

7.若1≤x<3，则x^2-2x+1-1/(x-3)的值为（）

8.已知a+a^-1=3，则a+a^-2=（）

A。2

B。3

C。4

D。无答案

9.已知x^2+6x+9=（x+3）^2，则x^3+27等于（）A。(x+3)^3

B。x(x+6)^2

C。x(x+3)^2+27

D。无答案

10.已知x+1/x=3，则x^3+1/x^3等于（）

A。27

B。18

C。10

D。无答案