2024年4月28日发(作者：)

2024考研数学常见泰勒公式展开式

泰勒公式是数学分析中的一个重要定理，它给出了一个函数在其中一

点附近的多项式逼近。它的形式如下：

设函数f在点x=a处n+1次可导，则它在点x=a处的泰勒展开式为：

[f(x)=f(a)+frac{f'(a)}{1!}(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-

a)^2+cdots+frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)]

其中，Rn(x)为泰勒余项，余项有以下形式：

[R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}]

其中a

常见的泰勒公式展开式如下：

1.指数函数的泰勒展开式：

[e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots+frac{x^n}{n!

}+R_n(x)]

其中[R_n(x)=frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}]

2.正弦函数的泰勒展开式：

[sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-cdots+(-

1)^nfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_n(x)]

其中[R_n(x)=(-1)^nfrac{cos c}{(2n+2)!}x^{2n+2}]

3.余弦函数的泰勒展开式：

[cos x=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-cdots+(-

1)^nfrac{x^{2n}}{(2n)!}+R_n(x)]

其中[R_n(x)=(-1)^nfrac{sin c}{(2n+1)!}x^{2n+1}]

4.自然对数函数的泰勒展开式：

[ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-cdots+(-1)^{n-

1}frac{x^n}{n}+R_n(x)]

其中[R_n(x)=(-1)^nfrac{(1+c)^{-n}}{n+1}x^{n+1}]

5.三角函数的泰勒展开式：

[begin{align*} sin x &= x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-

cdots+frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} quad text{(奇次项展开式)}

cos x &= 1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-cdots+frac{(-

1)^n}{(2n)!}x^{2n} quad text{(偶次项展开式)} end{align*}]

除了上述常见的泰勒展开式之外，还有一些其他函数的泰勒展开式，

如二次函数、指数对数混合形式等，这些展开式在不同的数学问题中有着

重要的应用。掌握常见的泰勒展开式，可以帮助我们对函数进行逼近和研

究，并解决一些实际问题。