2024年3月20日发(作者：mix2s拆机视频)

蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其

几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，

CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证

法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用

了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的

名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。

∵△AMD∽△CMB

∴AM/CM=AD/BC

∵SD=1/2AD，BT=1/2BC

∴AM/CM=AS/CT

又∵∠A=∠C

∴△AMS∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∵∠OMX=∠OSX=90°

∴∠OMX+∠OSX=180°

∴O，S，X，M四点共圆

同理，O，T，Y，M四点共圆

∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY ，

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

这个定理在椭圆中也成立，如图

１，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）

（y４＞０）。 （Ⅱ）直线y=k

求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证： | OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试

题答案汇编》中给出的参考解答如下：

（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦点坐标为

x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k

整理，得

(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根据韦达定理，得

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，

所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得

x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②

由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

所以结论成立。

（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得

(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4