2024年5月25日发(作者：)

第二十三章 向量函数微分学

3 反函数定理和隐函数定理

一、反函数定理

概念1：若定义在开集D⊂R

n

上的向量函数f: D→R

m

是一一映射，即

不仅对每一个x∈D只有一个y∈R

m

与之对应，且

对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是

由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f

-1

: f(D)→D,

称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f

-1

满足：

(1)(f

-1

◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f

-1

)(y)=y, y∈f(D).

定理23.17：(反函数定理)设D⊂R

n

是开集, 函数f: D→R

m

满足条件：

①在D上可微且f’连续；②存在x

0

∈D, 使det f’(x

0

)≠0,

则存在邻域U=U(x

0

) ⊂D, 使得：

(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f

-1

: V→U，其中V=f(U)是开集;

(2)f

-1

在V上存在连续导数(f

-1

)’, 且(f

-1

)’(y)=(f’(x))

-1

, x=f

-1

(y), y∈V.

证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.

设T=f’(x

0

), 由①②知存在点x

0

的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.

在U-x

0

={x-x

0

|x∈U}上定义函数F(x)=T

-1

[f(x

0

+x)-f(x

0

)], x∈U-x

0

.

记U-x

0

为U

1

, 即有0∈U

1

, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U

1

可微,

F’连续, 对所有x∈U

1

, F’(x)≠0.

(2)证明存在邻域U

2

⊂U

1

, 使得F在U

2

上是一一映射.

设φ(x)=x-F(x), x∈U

1

, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,

存在中心在原点的开球U

2

⊂U

1

, 使得对x∈U

2

,





(x)

<α.

应用定理23.14微分中值不等式得



(x



)



(x



)

≤α

x



x



, x’,x”∈U

2

.

∴

F(x



)F(x



)

≥(1-α)

x



x



, 即F在U

2

上是一一映射.

若定义F的反函数H: F(U

2

)→U

2

, H(F(x))=x, x∈U

2

, 则有H连续.

3)证明F(U

2

)⊃(1-α)U

2

, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U

2

.

任取y∈(1-α)U

2

, 对任何n>1, 应用迭代法构造x

0

,…,x

n

使得

x

0

=0, x

i

=y+φ(x

i-1

), x

i-1

∈U

2

,

x

i

x

i1

≤α

i-1

y

, 1≤i≤n. 于是有

x

n

≤



x

i

x

i1

≤





i1

y

<

i1i1

nn

1

y

, 即

1



x

n

∈U

2

, x

n+1

=y+φ(x

n

),

x

n1

x

n

=



(x

n

)



(x

n1

)

≤α

x

n

x

n1

.

所以将n换成n+1时归纳法假设也成立.

由于α<1, 因此{x

n

}是R

n

中的柯西序列，于是有x

n

→x∈U

2

.

∴

lim

F(x

n

)=

lim

(x

n

-φ(x

n

))=

lim

(x

n

-x

n+1

+y)=y. 设V=(1-α)U

2

, 于是有

nnn

U=F

-1

(V). 由F连续，而开集的原象是开集知, U是开集.

4)证明：若y∈V, x=H(y), 则H’(y)=F’(x)

-1

.

设y∈V, y+k∈V, k≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F’(x), 于是有

H(y+k)-H(y)-S

-1

k=h-S

-1

k=S

-1

(Sh-k)= -S

-1

[F(x+h)-F(x)-Sh].

由(1-α)

h

≤

k

得,

H(yk)H(y)S

1

k

k

≤

S

1

F(xh)F(x)Sh

(1



)h

.

当k→0时, h→0, 即有上式右边趋于0，∴H’(y)=F’(x)

-1

.

5)证明：H’(x)在V内连续.

∵

H



(yk)H



(y)

≤

[F



(xh)]

1

[F



(x)]

1

≤

[F



(xh)]

1

F



(xh)F



(x)[F



(x)]

1

.