2024年5月23日发(作者：)

2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合

A{x|2x4}

，

B{2

，3，4，

5}

，则

A

A．

{2}

A．

62i

A．2

B．

{2

，

3}

B．

42i

B．

22

2．已知

z2i

，则

z(zi)(

)

C．

62i

C．4

D．

42i

D．

42

3．已知圆锥的底面半径为

2

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

(

)

4．下列区间中，函数

f

(

x

)



7sin(

x

)

单调递增的区间是

(

)

6



3



3





A．

(0,)

B．

(

，



)

C．

(



,)

D．

(

，

2



)

222

2

x

2

y

2

5．已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C:1

的两个焦点，点

M

在

C

上，则

|MF

1

||MF

2

|

的最大值

94

为

(

)

B．12 C．9

sin



(1sin2



)

6．若

tan



2

，则

(

)

sin



cos



622

A．



B．



C．

555

7．若过点

(a,b)

可以作曲线

ye

x

的两条切线，则

(

)

A．

e

b

a

B．

e

a

b

C．

0ae

b

A．13 D．6

B(

)

C．

{3

，

4}

D．

{2

，3，

4}



D．

6

5

D．

0be

a

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次

取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字

之和是7”，则

(

)

A．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据

x

1

，

x

2

，



，

x

n

，由这组数据得到新样本数据

y

1

，

y

2

，



，

y

n

，其中

y

i

x

i

c(i1

，2，



，

n)

，

c

为非零常数，则

(

)

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

10．已知

O

为坐标原点，点

P

1

(cos



,sin



)

，

P

2

(cos



,sin



)

，

P

3

(cos(







)

，

sin(







))

，

A(1,0)

，则

(

)

A．

|OP

1

||OP

2

|

B．

|AP

1

||AP

2

|

第1页（共20页）

C．

OAOP

3

OP

1

OP

2

A．点

P

到直线

AB

的距离小于10

C．当

PBA

最小时，

|PB|32

1]

，



[0

，

1]

，则

(

)

D．

OAOP

1

OP

2

OP

3

B．点

P

到直线

AB

的距离大于2

D．当

PBA

最大时，

|PB|32

11．已知点

P

在圆

(x5)

2

(y5)

2

16

上，点

A(4,0)

，

B(0,2)

，则

(

)

12．在正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

ABAA

1

1

，点

P

满足

BP



BC



BB

1

，其中



[0

，

A．当



1

时，△

AB

1

P

的周长为定值

B．当



1

时，三棱锥

PA

1

BC

的体积为定值

1

C．当





时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

PBP

2

1

D．当





时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

B

平面

AB

1

P

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数

f(x)x

3

(a2

x

2

x

)

是偶函数，则

a

．

14．已知

O

为坐标原点，抛物线

C:y

2

2px(p0)

的焦点为

F

，

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴

垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

PQOP

．若

|FQ|6

，则

C

的准线方程为 ．

15．函数

f(x)|2x1|2lnx

的最小值为 ．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为

20dm12dm

的长方形纸，对折1次共可以得到

10dm12dm

，

20dm6dm

两种规格的

图形，它们的面积之和

S

1

240dm

2

，对折2次共可以得到

5dm12dm

，

10dm6dm

，

20dm3dm

三种规格的图形，它们的面积之和

S

2

180dm

2

，以此类推．则对折4次共可以

得到不同规格图形的种数为 ；如果对折

n

次，那么



S

k



dm

2

．

k1

n

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。



a1,n为奇数,

17．（10分）已知数列

{

a

n

}

满足

a

1

1

，

a

n1





n

a2,n为偶数



n

（1）记

b

n

a

2n

，写出

b

1

，

b

2

，并求数列

{b

n

}

的通项公式；

（2）求

{

a

n

}

的前20项和．

18．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有

A

，

B

两类问题．每位参加比赛的同

学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；

若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束．

A

类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；

B

类问题中的每个问题回答正

确得80分，否则得0分．

已知小明能正确回答

A

类问题的概率为0.8，能正确回答

B

类问题的概率为0.6，且能正确

回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答

A

类问题，记

X

为小明的累计得分，求

X

的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

19．（12分）记

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

．已知

b

2

ac

，点

D

在

边

AC

上，

BDsinABCasinC

．

第2页（共20页）

（1）证明：

BDb

；

（2）若

AD2DC

，求

cosABC

．

20．（12分）如图，在三棱锥

ABCD

中，平面

ABD

平面

BCD

，

ABAD

，

O

为

BD

的

中点．

（1）证明：

OACD

；

（2）若

OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在棱

AD

上，且二面角

EBCD

DE2EA

，

的大小为

45

，求三棱锥

ABCD

的体积．

21．（12分）在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

F

1

(17

，

0)

，

F

2

(17

，

0)

，点

M

满足

|MF

1

||MF

2

|2

．记

M

的轨迹为

C

．

（1）求

C

的方程；

（2）设点

T

在直线

x

1

上，过

T

的两条直线分别交

C

于

A

，

B

两点和

P

，

Q

两点，且

2

|TA||TB||TP||TQ|

，求直线

AB

的斜率与直线

PQ

的斜率之和．

22．（12分）已知函数

f(x)x(1lnx)

．

（1）讨论

f(x)

的单调性；

（2）设

a

，

b

为两个不相等的正数，且

blnaalnbab

，证明：

2

11

e

．

ab

第3页（共20页）

2021年全国统一新高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合

A{x|2x4}

，

B{2

，3，4，

5}

，则

A

A．

{2}

【解析】：

A

B(

)

B．

{2

，

3}

C．

{3

，

4}

D．

{2

，3，

4}

【思路分析】直接利用交集运算得答案．

A{x|2x4}

，

B{2

，3，4，

5}

，

B{x|2x4}



{2

，3，4，

5}{2

，

3}

．

故选：

B

．

【归纳总结】本题考查交集及其运算，是基础题．

2．已知

z2i

，则

z(zi)(

)

A．

62i

【解析】：

故选：

C

．

【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．已知圆锥的底面半径为

2

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

(

)

A．2 B．

22

C．4 D．

42

【思路分析】设母线长为

l

，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长

即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．

【解析】：由题意，设母线长为

l

，

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有

2



2



l

，解得

l22

，

所以该圆锥的母线长为

22

．

故选：

B

．

【归纳总结】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展

开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能

力，属于基础题．

4．下列区间中，函数

f

(

x

)



7sin(

x

)

单调递增的区间是

(

)

6



3



3





A．

(0,)

B．

(

，



)

C．

(



,)

D．

(

，

2



)

222

2

【思路分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．

【解析】：令



则



B．

42i

C．

62i

D．

42i

【思路分析】把

z2i

代入

z(zi)

，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

z2i

，

z(zi)(2i)(2ii)(2i)(22i)44i2i2i

2

62i

．





2



2

k



x



6



2



2

k



，

kZ

．



3

2k



x

2



2k



，

kZ

．

3

第4页（共20页）

当

k0

时，

k

[





3

，

2



]

，

3

2





]

，

(0,)[

，

3

23

故选：

A

．

【归纳总结】本题考查正弦函数单调性，是基础题．

x

2

y

2

5．已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C:1

的两个焦点，点

M

在

C

上，则

|MF

1

||MF

2

|

的最大值

94

为

(

)

A．13 B．12 C．9 D．6

【思路分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．

x

2

y

2

【解析】：

F

1

，

F

2

是椭圆

C:1

的两个焦点，点

M

在

C

上，

|MF

1

||MF

2

|6

，

94

|MF

1

||MF

2

|

2

所以

|MF

1

||MF

2

|()9

，当且仅当

|MF

1

||MF

2

|3

时，取等号，

2

所以

|MF

1

||MF

2

|

的最大值为9．

故选：

C

．

【归纳总结】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，是基础题．

sin



(1sin2



)

6．若

tan



2

，则

(

)

sin



cos



6226

A．



B．



C．

D．

5555

【思路分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的

值．

sin



(1sin2



)sin



(sin

2



cos

2



2sin



cos



)

【解析】：由题意可得：



sin



cos



sin



cos



sin



(sin



cos



)

2

sin



(sin



cos



)

sin



cos



sin

2



sin



cos



tan

2



tan





sin

2



cos

2



1tan

2



422



．

145

故选：

C

．

【归纳总结】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题．

7．若过点

(a,b)

可以作曲线

ye

x

的两条切线，则

(

)

A．

e

b

a

B．

e

a

b

C．

0ae

b

D．

0be

a

【思路分析】画出函数的图象，判断

(a,b)

与函数的图象的位置关系，即可得到选项．

【解析】：函数

ye

x

是增函数，

ye

x

0

恒成立，

函数的图象如图，

y0

，即取得坐标在

x

轴上方，

如果

(a,b)

在

x

轴下方，连线的斜率小于0，不成立．

点

(a,b)

在

x

轴或下方时，只有一条切线．

如果

(a,b)

在曲线上，只有一条切线；

(a,b)

在曲线上侧，没有切线；

第5页（共20页）

由图象可知

(a,b)

在图象的下方，并且在

x

轴上方时，有两条切线，可知

0

be

a

．

故选：

D

．

【归纳总结】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思

想，是中档题．

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次

取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字

之和是7”，则

(

)

A．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

【思路分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．

【解析】：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：

(2,6)

，

(3,5)

，

(4,4)

，

(5,3)

，

(6,2)

，

两点数和为7的所有可能为

(1,6)

，

(2,5)

，

(3,4)

，

(4,3)

，

(5,2)

，

(6,1)

，

61

11

55

，

P

（丁

)

，

P

（甲

)

，

P

（乙

)

，

P

（丙

)

666

6636

66

A:P

（甲丙）

0P

（甲

)P

（丙

)

，

1

B:P

（甲丁）

P

（甲

)P

（丁

)

，

36

1

C:P

（乙丙）

P

（乙

)P

（丙

)

，

36

D:P

（丙丁）

0P

（丙

)P

（丁

)

，

故选：

B

．

【归纳总结】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，

属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据

x

1

，

x

2

，



，

x

n

，由这组数据得到新样本数据

y

1

，

y

2

，



，

y

n

，其中

y

i

x

i

c(i1

，2，



，

n)

，

c

为非零常数，则

(

)

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

第6页（共20页）

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【思路分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．

【解析】：对于

A

，两组数据的平均数的差为

c

，故

A

错误；

对于

B

，两组样本数据的样本中位数的差是

c

，故

B

错误；

对于

C

，标准差

D

(

y

i

)

D

(

x

i

c

)

D

(

x

i

)

，



两组样本数据的样本标准差相同，故

C

正确；

对于

D

，

y

i

x

i

c

(

i

1

，2，



，

n)

，

c

为非零常数，

x

的极差为

x

max

x

min

，

y

的极差为

(x

max

c)(x

min

c)x

max

x

min

，



两组样本数据的样本极差相同，故

D

正确．

故选：

CD

．

【归纳总结】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础

知识，是基础题．

10．已知

O

为坐标原点，点

P

1

(cos



,sin



)

，

P

2

(cos



,sin



)

，

P

3

(cos(







)

，

sin(







))

，

A(1,0)

，则

(

)

A．

|OP

1

||OP

2

|

C．

OAOP

3

OP

1

OP

2

【解析】：

B．

|AP

1

||AP

2

|

D．

OAOP

1

OP

2

OP

3

【思路分析】由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．

P

1

(cos



,sin



)

，

P

2

(cos



,sin



)

，

P

3

(cos(







)

，

sin(







))

，

A(1,0)

，



OP

1

(cos



,sin



)

，

OP

2

(cos



,sin



)

，

OP

3

(cos(







)

，

sin(







))

，

OA(1,0)

，

AP

1

(cos



1,sin



)

，

AP

2

(cos



1,sin



)

，

22

|OP

cos

2



sin

2



1

，

|OP

则

|OP

1

|

1

||OP

2

|

，故

A

正确；

2

|cos



(sin



)1

，则

2222

|AP

1

|(cos



1)sin



cos



sin



2cos



122cos



，

|AP

2

|(cos



1)

2

(sin



)

2

cos

2



sin

2



2cos



122cos



，

|AP

1

||AP

2

|

，故

B

错误；

OAOP

3

1cos(







)0sin(







)cos(







)

，

OP

1

OP

2

cos



cos



sin



sin



cos(







)

，



OAOP

3

OP

1

OP

2

，故

C

正确；

OAOP

1

1cos



0sin



cos



，

OP

2

OP

3

cos



cos(







)sin



sin(







)cos[



(







)]cos(



2



)

，



OAOP

1

OP

2

OP

3

，故

D

错误．

故选：

AC

．

【归纳总结】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角

和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．

11．已知点

P

在圆

(x5)

2

(y5)

2

16

上，点

A(4,0)

，

B(0,2)

，则

(

)

A．点

P

到直线

AB

的距离小于10

C．当

PBA

最小时，

|PB|32

B．点

P

到直线

AB

的距离大于2

D．当

PBA

最大时，

|PB|32

第7页（共20页）

【思路分析】求出过

AB

的直线方程，再求出圆心到直线

AB

的距离，得到圆上的点

P

到直

线

AB

的距离范围，判断

A

与

B

；画出图形，由图可知，当过

B

的直线与圆相切时，满足

PBA

最小或最大，求出圆心与

B

点间的距离，再由勾股定理求得

|PB|

判断

C

与

D

．

【解析】：

A(4,0)

，

B(0,2)

，

xy



过

A

、

B

的直线方程为

1

，即

x2y40

，

42

圆

(x5)

2

(y5)

2

16

的圆心坐标为

(5,5)

，

圆心到直线

x2y40

的距离

d



点

P

到直线

AB

的距离的范围为

[

|15254|

1

2

2

2



11

5



115

4

，

5

115115

4

，

4]

，

55

115115115

5

，



41

，

410

，

555



点

P

到直线

AB

的距离小于10，但不一定大于2，故

A

正确，

B

错误；

如图，当过

B

的直线与圆相切时，满足

PBA

最小或最大

(P

点位于

P

位于

P

2

1

时

PBA

最小，

时

PBA

最大），

此时

|BC|(50)

2

(52)

2

25934

，

|PB||BC|

2

4

2

1832

，故

CD

正确．

故选：

ACD

．

【归纳总结】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．

12．在正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

ABAA

1

1

，点

P

满足

BP



BC



BB

1

，其中



[0

，

1]

，



[0

，

1]

，则

(

)

A．当



1

时，△

AB

1

P

的周长为定值

B．当



1

时，三棱锥

PA

1

BC

的体积为定值

1

C．当





时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

PBP

2

1

D．当





时，有且仅有一个点

P

，使得

A

1

B

平面

AB

1

P

2

【思路分析】判断当



1

时，点

P

在线段

CC

1

上，分别计算点

P

为两个特殊点时的周长，

即可判断选项

A

；当



1

时，点

P

在线段

B

1

C

1

上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公

1

式，即可判断选项

B

；当





时，取线段

BC

，

B

1

C

1

的中点分别为

M

，

M

1

，连结

M

1

M

，

2

第8页（共20页）

则点

P

在线段

M

1

M

上，分别取点

P

在

M

1

，

M

处，得到均满足

A

1

PBP

，即可判断选项

C

；

1

当





时，取

CC

1

的中点

D

1

，

BB

1

的中点

D

，则点

P

在线的

DD

1

上，证明当点

P

在点

D

1

处

2

时，

A

1

B

平面

AB

1

D

1

，利用过定点

A

与定直线

A

1

B

垂直的平面有且只有一个，即可判断选

项

D

．

【解析】：对于

A

，当



1

时，

BPBC



BB

1

，即

CP



BB

1

，所以

CP//BB

1

，

故点

P

在线段

CC

1

上，此时△

AB

1

P

的周长为

AB

1

B

1

PAP

，

当点

P

为

CC

1

的中点时，△

AB

1

P

的周长为

52

，

当点

P

在点

C

1

处时，△

AB

1

P

的周长为

221

，

故周长不为定值，故选项

A

错误；

对于

B

，当



1

时，

BP



BCBB

1

，即

B

1

P



BC

，所以

B

1

P//BC

，

故点

P

在线段

B

1

C

1

上，

因为

B

1

C

1

//

平面

A

1

BC

，

所以直线

B

1

C

1

上的点到平面

A

1

BC

的距离相等，

又△

A

1

BC

的面积为定值，

所以三棱锥

PA

1

BC

的体积为定值，故选项

B

正确；

对于

C

，当





因为

BP

1

时，取线段

BC

，

B

1

C

1

的中点分别为

M

，

M

1

，连结

M

1

M

，

2

1

BC



BB

1

，即

MP



BB

1

，所以

MP//BB

1

，

2

则点

P

在线段

M

1

M

上，

当点

P

在

M

1

处时，

A

1

M

1

B

1

C

1

，

A

1

M

1

B

1

B

，

第9页（共20页）

又

B

1

C

1

B

1

BB

1

，所以

A

1

M

1



平面

BB

1

C

1

C

，

又

BM

1



平面

BB

1

C

1

C

，所以

A

1

M

1

BM

1

，即

A

1

PBP

，

同理，当点

P

在

M

处，

A

1

PBP

，故选项

C

错误；

1

时，取

CC

1

的中点

D

1

，

BB

1

的中点

D

，

2

1

因为

BP



BCBB

1

，即

DP



BC

，所以

DP//BC

，

2

则点

P

在线的

DD

1

上，

对于

D

，当





当点

P

在点

D

1

处时，取

AC

的中点

E

，连结

A

1

E

，

BE

，

因为

BE

平面

ACC

1

A

1

，又

AD

1



平面

ACC

1

A

1

，所以

AD

1

BE

，

在正方形

ACC

1

A

1

中，

AD

1

A

1

E

，

又

BEA

1

EE

，

BE

，

A

1

E

平面

A

1

BE

，

故

AD

1



平面

A

1

BE

，又

A

1

B

平面

A

1

BE

，所以

A

1

BAD

1

，

在正方形

ABB

1

A

1

中，

A

1

BAB

1

，

又

AD

1

AB

1

A

，

AD

1

，

AB

1



平面

AB

1

D

1

，所以

A

1

B

平面

AB

1

D

1

，

因为过定点

A

与定直线

A

1

B

垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点

P

，使得

A

1

B

平面

AB

1

P

，故选项

D

正确．

故选：

BD

．

【归纳总结】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合

性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第10页（共20页）