2024年5月1日发(作者：)

二维离散型协方差公式推导

一维离散型随机变量的数学期望就是把每一个x xx和它对应的

P PP相乘。E[X]=∑i=1∞x i p i

E[X]=sum_{i=1}^{∞}x_ip_iE[X]=i=1∑∞xipi

1、1、1几种常见离散型分布的数学期望

【1】二项分布的数学期望：若X XX~B(n,p)B(n,p)B(n,p)那么，

E X=n p EX=npEX=np

【2】泊松分布的数学期望：若X XX~P o i s(λ)Pois(λ)Pois(λ)

那么，E X=λ，D X=λEX=λ，DX=λEX=λ，DX=λ

【3】几何分布的数学期望：

1、2一维离散型随机变量函数的数学期望

如果有：Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)那么E[g(X)]E[g(X)]E[g(X)]可以

表示为：E[g(X)]=∑i=1∞g(x i)p i

E[g(X)]=sum_{i=1}^{∞}g(x_i)p_iE[g(X)]=i=1∑∞g(xi)pi

1、3一维连续型随机变量的数学期望

这里我们直接上公式：E X=∫−∞+∞x f X(x)d x

EX=int_{-∞}^{+∞}xf_X(x)dxEX=∫−∞+∞xfX(x)dx

1、3、1几种常见连续型分布的数学期望

【1】均匀分布：若X XX~U[a,b]U[a,b]U[a,b]那么，E X=a+b 2

EX=frac{a+b}{2}EX=2a+b

【2】正态分布：若X XX~N(μ,σ2)N(μ,σ^2)N(μ,σ2)，那么其

数学期望为E X=μEX=μEX=μ

【3】指数分布：若X XX~E x p(λ)Exp(λ)Exp(λ)，那么其数学期

望为：E X=1λEX=frac{1}{λ}EX=λ1

1、4一维连续型随机变量函数的数学期望

1、5数学期望的性质

常数C的数学期望也是C：E C=C EC=CEC=C

E(X+C)=E X+C E(X+C)=EX+CE(X+C)=EX+C这里我们一样进行类比：

假设全班同学在测量身高的时候都站在了一般高的砖头上，那么必然

平均身高测出来就会高。

E(k X+b)=k E X+b E(kX+b)=kEX+bE(kX+b)=kEX+b

E(X±Y)=E X±E Y E(X±Y)=EX±EYE(X±Y)=EX±EY

当X,Y X,YX,Y独立时，E(X Y)=E X⋅E Y E(XY)=EXsdot

EYE(XY)=EX⋅EY

1、6二维随机变量的期望

这一部分将在本博客的第2、2、1和2、2、2节详细介绍！

二、方差

我们以身高为例，期望反应的是全班同学的平均身高，那么方差

反应的就是全班同学身高的起伏

下面给出方差的定义式：D X=E(X−E X)2 DX=E(X-EX)^2DX=E(X−EX)2，

值得注意的是，我们这里是对(X−E X)2(X-EX)^2(X−EX)2求期望。

下面我们分别给出离散型和连续型随机变量的方差的定义：

【1】离散型：D X=∑k(x k−E X)2 P k DX=sum_k(x_k-EX)^2P_kDX=∑k

(xk−EX)2Pk