2024年5月13日发(作者：电脑网页打开速度慢)

数学建模

3.12传染病模型

摘要：

本文是一个对传染病的研究问题。通过把一般把传染病流行范围内的人群分成

三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受

到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移

出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。建立数学模型用极限和微积分等数

学方法对传染病传播规律进行研究。

关键词：

传染病 极限和微积分

正文

1 传染病

〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物

或人与动物之间相互传播的一类疾病。病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，

寄生虫引起者又称寄生虫病。有些传染病，防疫部门必须及时掌握其发病情况，及时

采取对策，因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告，称为法定传染病。中

国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类，共37种

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，

鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生

命。在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未

绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。有些传染病传染很快，导致很高的

致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。

传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学

数据。事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。所以有关传染病的数据、资料只能

从已有的传染病流行的报告中获取。这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地

确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为

研究传染病流行过程的有效途径之一。

2问题提出

上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何

预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不

变？

3 模型分析

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直

接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能

力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理

的假设，进行简化。

1

徐世音 传染病模型

4 模型假设

我们把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），

指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），

指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或

因病愈而具有免疫力的人。

5建立模型

5．1SI模型1

SI模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈，不考虑移出者，人员流动图为：

S→I。

假设

1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数

k

0

。

2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。

记时刻t的得病人数为

i(t)

，开始时有

i

0

个传染病人，则在

t

时间内增加的病人数为

i(tt)i(t)k

0

i(t)t

于是得：



di(t)



k

0

i(t)



dt







i(0)



i

0

k

0

t

i(t)ie

0

其解为：。

分析与解释：这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，

显然与实际不符。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑传染病传播时期出

生和迁移的人数），在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染的人数

k

0

则是在改变

k

的。在初期，

0

较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是

k

0

就会

变小。

5．2SI模型2

记时刻

t

的健康者人数为

s(t)

，假设

1.总人数为常数

n

，且

i(t)s(t)n

。

2