2024年3月16日发(作者：)

第一章 矢量分析与场论

实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量

称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即

所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场；

如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空

间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该

场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。

本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标

系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；

最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。

1.1 矢量及其代数运算

一、标量和矢量

电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一

个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。

实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、

力矩等都是矢量。例如，矢量

A

可以写成

A

AaA

A

（1-1-1）

其中

A

是矢量

A

的大小，

a

的大小等于1，代表矢量

A

的方向。

a

一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为1的矢

量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量

a

x

、

x

、

y

和

z

轴分量的方向。

a

y

和

a

z

表征矢量分别沿

空间的一点

P



X,Y,Z



能够用它在三个相互垂直的轴线上的

投影唯一地被确定如图1-1所示。从原点指向点

P

的矢量

r

称为位

置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为

ra

x

Xa

y

Ya

z

Z

（1-1-2）

式中，

X,Y

和

Z

是

r

在

x

、

y

和

z

轴上的标投影。

任一矢量

A

在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例

如，在直角坐标系中，矢量

A

的三个分量分别是

A

x

、

利用三个单位矢量

a

x

、

矢量

A

的大小

A

：

22

AA

x

A

y

A

z

2

A

y

、

A

z

，

a

y

、

a

z

可以将矢量

A

表示成：

Aa

x

A

x

a

y

A

y

a

z

A

z

（1-1-3）



1

2

（1-1-4）

二、矢量的代数运算

1

矢量的加法和减法

任意两个矢量

A

与

B

的相加等于两个矢量相应分量相加，它们的和仍然矢量，即

CABa

x

(A

x

B

x

)a

y

(A

y

B

y

)a

z

(A

z

B

z

)

(1-1-5)

任意两个矢量

A

与

B

的相减，把其中的一个矢量变号后再相减就得到它们的差，即

DABA(B)a

x

(A

x

B

x

)a

y

(A

y

B

y

)a

z

(A

z

B

z

)

(1-1-6)

2 矢量的乘积

矢量的乘积包括标量积和矢量积。

（1） 标量积(scalar product)

任意两个矢量

A

与

B

的标量积是一个标量，它等于两个矢量的大

小与它们的夹角的余弦之乘积，如图1-2，记为

ABABcos



(1-1-7)

标量积也称为点积（dot product），如果两个不为零的矢量的标量

积等于零，则这两个矢量必然相互垂直，或者说两个互相垂直的矢量的点乘一定为零。

例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

a

x

a

y

a

y

a

z

a

x

a

z

0







a

x

a

x

a

y

a

y

a

z

a

z

1





(1-1-8)

若用矢量的三个分量来表示标量积：

xxyyzz

(1-1-9)

标量积服从交换律和分配律，即

ABBA

(1-1-10)

ABABABAB

A(BC)ABAC

(1-1-11)

（2） 矢积（vector product）

任意两个矢量

A

与

B

的矢积是一个矢量，它的大小等于两个矢量的大小与它们的夹角

的正弦之乘积，它的方向垂直于矢量

A

与

B

组成的平面，如图1-3，记为



(1-1-12)

CABa

n

ABsin

a

n

a

A

a

B

（右手螺旋）

矢积又称为叉积(cross product)，如果两个不为零

的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。

矢量叉积不服从交换律，但服从分配律，即

ABBA

(1-1-13)

A(BC)ABAC

(1-1-14)

直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

a

x

a

y

a

z

,a

y

a

z

a

x

,a

z

a

x

a

y







a

x

a

x

a

y

a

y

a

z

a

z

0





(1-1-15)

矢量叉积还可以用行列式来表示：

a

x

ABA

x

B

x

a

y

A

y

B

y

a

z

A

z

B

z

a

x



A

y

B

z

A

z

B

y



a

y



A

z

B

x

A

x

B

z



a

z



A

x

B

y

A

y

B

x



(1-1-16)

矢量的其它运算详见附录2。