2024年4月4日发(作者：荣耀vs折叠屏)

5 应用二元一次方程组——里程碑上的数

典型例题

题型一 列二元一次方程组解决数字问题

例1 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，

那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；

如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表

示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.

解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两

个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.



xy5,

根据题意，得



10yx10xy143,





x9,

解得



y4.



所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.

答：这个两位数为49.

点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的

数字，再利用数的表示方法表示出这个数.

例2 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数

字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.

分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个

由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到

最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：

(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.

解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.



9xy3,

根据题意，得



10yx100xy45,





x4,

解得



则4×100+39＝439.

y39.



答：原三位数为439.

点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.

题型二 列二元一次方程组解决行程问题

例3 某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出

发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、

乙两名同学的速度.

分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系

为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙

为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.

解：设甲同学的速度为x m/s， 乙同学的速度为y m/s.



(xy)40400,

根据题意，得





200x200y400,



xy10,



x6,

整理，得



解得



xy2,y4.



答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.

点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、

乙相距的路程.

例4 甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而

1

4

行，h相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回，在汽车

3

1

再次出发h时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

2

分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).

图1

这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.

有两个相等关系：

44

(1)相向而行：汽车h行驶的路程+拖拉机h行驶的路程＝160 km；

33

1



1



(2)同向而行：汽车h行驶的路程＝拖拉机



1



h行驶的路程.

2



2



解：设汽车每小时行驶x km，拖拉机每小时行驶y km.



4

(xy)160,





x90,

3



根据题意，得



解得



11

y30.







x1y,







2





2



41



43



90×







＝165(km)，30×







＝85(km).



32



32



答：汽车行驶了165 km，拖拉机行驶了85 km.

题型三 列二元一次方程组解决航速问题

例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一木筏从

甲地漂流到乙地需多长时间？

分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：

①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.

显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需

要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用

间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即

甲、乙两地间的路程.

解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，甲、乙两地间的路程为a km.



4(xy)a,

根据题意，得



6(xy)a,



解这个方程组，得x＝5y.

把x＝5y代入①，得a＝4×(5y+y)＝24y.

所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为

a24y

＝＝24(h).

yy

答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.

点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，

不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y，其他的未知数就可以用这个

未知数来表示.a的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.

2

题型四 列二元一次方程组解决年龄问题

例6 一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；

你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.

分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长

的年龄+老师的年龄＝36.

解：设老师今年x岁，学生今年y岁.



xyy,



x24,

根据题意，得



解得



xyx36,y12.



答：老师今年24岁，学生今年12岁.

注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.

题型四 开放拓展题

例7 如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.

图2

(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.

(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.

分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可

以列出二元一次方程组求解.



2x322(3)4y,

解：(1)由已知条件可列出方程组



2x322xy4y,





2x34y3,



x1,

整理，得



解得



5y5,

y1.





(2)由(1)可得如图3所示的方格.

图3

说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，

但结果是一样的.

拓展资源

经典有趣的行程问题

1

甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，

乙的速度是3 米/秒.一只狗从 A 地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，

3

碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？

这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙

两人从出发到相遇需要 20 秒，在这 20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是

120 米.

2

假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地

从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行

速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还

是顺着车的方向往前走一点？

在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且

各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优

势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该

充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车

载我走完剩下的路程.

其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度

上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全

部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误

的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！

不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前

走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！

4