2024年5月23日发(作者：)

第四讲 等差数列

一、知识点：

1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称

为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样

的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式

等差数列的总和=（首项+末项）



项数



2

项数=（末项-首项）



公差+1

末项=首项+公差



（项数-1）

首项=末项-公差



（项数-1）

公差=（末项-首项）



（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项



项数

二、典例剖析：

例（1） 在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是

多少？

分析： （1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：

项数=（末项-首项）



公差+1,便可求出。

（2）根据公式：末项=首项+公差



（项数-1）

解： 项数=（201-3）



3+1=67

末项=3+3



（201-1）=603

答：共有67个数，第201个数是603

练一练：

在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？

答案: 第48项是286，508是第85项

例（2 ）全部三位数的和是多少？

分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、

999这 一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公

式来解答。

解： （100+999）



900



2

=1099



900



2

=494550

答：全部三位数的和是494550。

练一练：

求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

答案: 1000

例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求

等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。

解一： 11+21+31+……+91

=（11+91）



9



2

=459

分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这

9个数的平均数是459



9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作

中项)，由此我们又可得到S=中项



n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能

用中项公式计算。

解二：11+21+31+……+91

=51



9

=459

答：和是459。

练一练：

求不超过500的所有被11整除的自然数的和。

答案: 11385

例（4） 求下列方阵中所有各数的和：

1、2、3、4、……49、50；

2、3、4、5、……50、51；

3、4、5、6、……51、52；

……

49、50、51、52、……97、98；

50、51、52、53、……98、99。

分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横

行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。

解一： 每一横行数列之和：

第一行：（1+50）



50



2=1275

第二行：（2+51）



50



2=1325