2024年4月28日发(作者：)

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同底的指数函数与对数函数的图象有几个交

点

作者：张松年

来源：《新课程·中学》2012年第08期

函数y=ax与y=logax（a>0，a≠1）的图象有几个交点？自《普通高中课程标准实验教科

书·苏教版·数学必修1》提出这个问题以后，引起了中学数学教师的广泛关注。

2006年第2版《苏教版·数学必修1》第80页的例5和探究的内容是：

例5：分别就a=2，a=■和a=■画出函数y=ax与y=logax的图象，并求方程ax=logax解的

个数。

探究：当0

教材提示利用Excel、图形计算器或其他画图软件（教学过程中一般用几何画板），在同

一坐标系中分别就a=2，a=■和a=■时画出函数y=ax与y=logax的图象，通过观察，发现：在

这三种情况下，两个函数图象的交点个数分别为0，2，1，从而方程ax=logax解的个数分别为

0，2，1。

作为探究，用几何画板演示，可以发现：当0

但问题是：这两个函数的图象到底有几个交点？会不会有4个公共点？交点个数变化时，

底数a的临界值是什么？怎样找底数a的临界值呢？

一、几个基本结论

1.y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。如果函数y=logax的图象

与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=ax的图象上。同样，如果函数y=ax的图象与直线

y=x相交，那么交点必定在函数y=logax的图象上。

2.函数y=ax是凹函数，它的图象在其任意一条切线的上方。证明如下：

由y=ax，得y′=axlna，y″=ax（lna）2。

因为对任意的x∈R，都有ax>0，且（lna）2>0，所以y″>0，

所以，函数y=ax是凹函数。

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3.（1）当a>1时，函数y=logax是凸函数，它的图象在其任意一条切线的下方；（2）当

0

证明如下：

由y=logax，得y′=■（x>0），y″=—■（x>0）。

因为对任意的x∈（0，+∞），都有x2>0，所以当a>1时，有lna>0，所以y″0，所以，函

数y=logax是凹函数。

二、对函数y=ax与y=logax图象的交点个数情况的研究

1.当a>1时，函数函数y=ax的图象与直线y=x可能相交，也可能不相交。

当a>1时，由于方程ax=x与x=logax是同解方程，所以只要研究方程x=logax的解的情

况，即lna=■解的情况。

设函数f（x）=■，则f ′（x）=■=■。

令f ′（x）=0，得x=e。

当0e时，f ′（x）>0，所以，当x=e时，f（x）=■有最大值■。

因此，当lna>■时，即a>e■时，方程x=logax无解，从而函数y=logax的图象在直线y=x

的下方，函数y=ax的图象在直线y=x的上方，因此，函数y=ax与y=logax的图象没有公共

点。如图1所示。

当lna=■，即a=e ■时，函数y=ax与y=logax的图象恰有一个交点。如图2所示。

当lna

■

2.当0

设函数y=ax与y=logax的图象在直线y=x外的两个交点为A（m，n），B（n，m），则

直线AB的斜率为—1。设直线AB的方程为y=—x+b，当A，B重合为点P时，直线AB为函

数y=ax与y=logax图象的公切线，且P在对称轴所在的直线y=x上。

由y=logax，得y′=■。

令■=—1，得x=—■。

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所以，点P的坐标为[—■，loga（—■）]。

由loga（—■）=—■，得■=—■，即ln（—lna）=1，即—lna=e，解得a=e—e。

此时，点P的坐标为（e—1，e—1），函数y=ax与y=logax图象的公切线的方程为

y=2e—1—x。

（1）当e—e≤a

（2）当0

■

三、函数y=ax与y=logax的图象的交点个数与底数的关系

1.当a>e ■时，函数y=ax与y=logax的图象无交点。

2.当a=e ■或e—e≤a

3.当1

4.当0

参考文献：

单墫.普通高中课程标准实验教科书《数学1》[M].南京：江苏教育出版社，2006：80—81.