2024年1月8日发(作者：)

题 目：

指数增长的函数模型案例

类 型： 创编

知识点： 指数函数 指数增长 函数模型

问题：

请阅读以下资料：

《焦点访谈》：薇甘菊的警示

主持人（敬一丹）：今天是6月5号，是世界环境日，有更多的目光在关注着我们共有的生态环境。在这个时候人们也注意到曾经被忽略的生态问题，… 广东省内伶仃岛是珍稀动物猕猴的自然保护区。猕猴和海岛上的上千种动植物和谐共存，平衡发展。然而1993年这种和谐被一种到处蔓延的植物打破了。… 它一天可以生长20多厘米。…

薇甘菊在内伶仃岛上一年四季的疯长，短短几年时间，… 大量树木枯死，使猕猴的生存受到威胁。 （猕猴吃的植物死亡了，消失了。）… 树林退化成草地。（广东省珠海市环保局高级工程师谭卫广：非常可怕，有点像一种火烧那样，呼地就覆盖过去，就像森林失火那样推进，往上面、往里面推进。）… 外来物种的入侵不仅对生物多样性和生态环境造成破坏，而且也使人类遭受巨额的经济损失。据有关部门统计，我国主要外来入侵物种造成的农林业经济损失平均每年达574亿元人民币。… 。

解答下列题目：

薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，1919年已在香港出现， 1984年在广东深圳银湖地区发现逸生的薇甘菊，九十年代以来，由于薇甘菊已适应了深圳的自然环境，危害面积正急剧扩增，所到之处，树木枯萎花草凋零，成片枯林敲响警钟。深圳是国内受薇甘菊侵害的“重灾区”，受害面积几乎y

9000

6000

3000

o

x

是以几何数量疯狂增长。深圳林区面积共有87000公顷， 2005年受害面积已达3700公顷，比2004年的3500公顷，增长了5.7%。

(1)如果不及时采取有效的防治措施的话，那么到2020年深圳受薇甘菊危害的面积将达到多少？几年后深圳87000公顷林区将被薇甘菊全部侵占？

(3) 如果到2020年使深圳受薇甘菊危害的林区面积不超过5000公顷，那么要把薇甘菊增长率控制在多少范围内？

分析：

从材料中知薇甘菊危害的林区面积呈现出指数增长的趋势，所以指数函数模型适用于本题。如果受危害的林区面积用y表示，经过的年数用x表示，那么y表示为x的函数为y = a (1+ p)x

(其中a为常数，p为增长率)，通过解该模型，而得到实际问题的解。

解答：

(1) ∵3700（1+5.7%）15

≈8500,

∴到2020年深圳受薇甘菊危害的面积将达到8500公顷，

由3700（1+5.7%）x

=

87000解得 x ≈57

∴57年后深圳87000公顷林区将被薇甘菊全部侵占

(2)由函数图象可知在x＞0时，函数是单调递增的，所以设年增长率为x% ，则y = 3700（1+x%）15

≤5000，利用计算器求得当x 2时，y = 5000，所以到2020年要使薇甘菊危害的林区面积不超过5000公顷，应把薇甘菊增长率控制在2%范围内。

说明：

你能体会到指数增长是怎样的情形吗？指数增长与直线的线性增长要剧烈得多，呈“爆炸”式增长，所以又称为 “指数爆炸”。

我国的生物科学家及时认识到了薇甘菊危害性，并积极科研，取得了成绩。新华网（2006-2-4）发表文章《"薇甘菊"防治取得突破 找到抑制蔓延的有效方法》，文章说目前已找到了抑制薇甘菊蔓延的有效方法。经过5年的科学攻关，专家们找到了一种寄生植物叫田野菟丝子，寄生在薇甘菊上面，最后的结果就是有少量的薇甘菊存在也有少量的菟丝子存在，但是不存在危害这样的一种状态。又意外地发现当地土生土长的树种黄伞枫也可以有效抑制薇甘菊蔓延。近年，在