2024年5月19日发(作者：attract)

基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法

黄超;索继东;于亮

【摘 要】A new carrier frequency estimation algorithm based on the

argument of the sample autocorrelation function in additive white

Gaussian noise( AWGN) is proposed. Firstly,a formula for frequency

estimation based on the argument of the sample autocorrelation function

is derived. Secondly, a phase ambiguity re-moval method for solving the

contradiction problems between estimation range and estimation

accuracy . Al-gorithm analysis and simulation results show the estimation

variance of the proposed algorithm is close to the Cramer-Rao low

bound( CRLB) when the signal-to-noise ratio( SNR) is higher than 6 dB and

the cal-culation amount is smaller under the same estimation variance

compared with the TSA algorithm and also easy for engineering

realization.%针对加性高斯白噪声的正弦信号，提出了基于自相关函数相位的频

率估计新算法。首先，推导了一种新的自相关函数相位的频率估计式，然后，针对

频率估计范围与频率估计精度之间的矛盾问题，提出了一种消除相位模糊的方法。

算法分析与仿真结果表明，在信噪比高于6 dB时，估计方差接近克拉美罗下界

( CRLB)，与TSA算法相比，在估计性能相同条件下，具有更低的计算量，便于工

程实现。

【期刊名称】《电讯技术》

【年(卷),期】2014(000)001

【总页数】5页(P63-67)

【关键词】正弦信号;频率估计;自相关函数;估计范围;克拉美罗下界;相位模糊消除

【作 者】黄超;索继东;于亮

【作者单位】大连海事大学 信息科学技术学院，辽宁 大连116026; 大连理工大学

城市学院 电子与自动化学院，辽宁 大连116600;大连海事大学 信息科学技术学院，

辽宁 大连116026;大连理工大学 软件学院，辽宁 大连116600

【正文语种】中 文

【中图分类】TN911.72

1 引言

对淹没于噪声中的正弦信号进行频率估计，无论在理论中还是在实际应用中都具有

非常重要的研究价值，国内外众多学者对此做了大量的研究，主要从频域和时域两

个角度进行分析，如基于FFT的频率估计算法[1－2]。本文从时域的角度对频率估

计算法进行研究。传统基于时域的自相关方法有:nko利用少量的自相关

函数进行频率估计[3]，此类方法计算简单，但其性能不高;等人在在文献[3]

的基础上加以改进，并定义新的自相关函数[4]，但由于选取的自相关函数系数较

低，估计性能受到限制;等人在文献[4]的基础上加以修正，采用较高序号的

自相关系数[5]，使得估计性能得到一定的提升，但是在信噪比偏低时，估计性能

不够理想;为了充分挖掘自相关函数包含的频率信息，Rim，，Yan Cao等

人尽可能地利用多个自相关函数进行频率估计[6－8]，使得估计性能得到很大提升，

但同时算法的计算量也增大;为了进一步提升频率估计性能，提出了两步自相

关算法[9]，Yan Cao等人提出了基于扩展自相关的频率估计算法[10]，在低信噪

比估计性能得到进一步改善，在中高信噪比时，频率估计方差接近克拉美罗下界

(CRLB)[11]。然而，在现有很多算法中，估计性能的提升都是利用更多的自相关系

数或者多步自相关函数，这样必然会带来算法计算量的增大，即存在频率估计精度

与算法复杂度的矛盾问题。

为了解决上述问题，本文同样从自相关函数的角度，充分利用自相关函数包含的频

率信息，推导了一种新的自相关函数相位的频率估计式，并且针对频率估计范围与

频率估计精度之间的矛盾问题，提出了一种消除相位模糊的方法。计算机仿真表明，

在信噪比较高时，估计方差接近克拉美罗下界(CRLB)，与TSA算法相比，在估计

性能相同条件下，本文算法的计算量大大降低，具有很好的应用价值。

2 正弦信号频率估计算法原理

设混有高斯加性白噪声的单频正弦信号表示式为

其中，a、ω0、θ分别为信号的幅度、频率、相位，η(t)为均值为零、方差为σ2

的加性高斯白噪声。对其在观察时间0≤t≤T内进行采样N个样本值，于是得到离

散序列为

对上式定义其自相关函数为

当N足够大时，由文献[10]可知，式(3)可写为

Pisarenko[3]算法利用低阶自相关 r1、r2 进行频率估计，如下式所示:

Pisarenko算法虽然计算量小，但是频率估计方差和CRB相差较大。为了进一步

减小频率估计偏差，等人在PHD算法的基础上加以改进，提出了算法

[4]。其算法仅对Pisarenko算法的r1、r2进行重新定义，改进了r1、r2的估计

性能，如下式所示:

于是，式(5)可改写为

为了进一步提高载波频率估计性能，TSA算法[9]利用更多的自相关函数进行频率

估计:

其中:

从上式可以看出，TSA算法经过自相关函数的多次组合，充分挖掘自相关函数包

含的频率信息进行频率估值，理论分析及仿真结果表明，SNR≥0 dB时，频率估

计方差接近CRLB，且频率估计范围宽;但是其算法的计算量较大(与O(N3)成正比)，

不利于实时信号的处理。

3 本文提出的新的频率估计式

目前，基于自相关函数的频率估计算法中，很多都是通过利用多个自相关系数，使

得频率估计的性能得到提升，如 Yan 算法[8，10]、TSA 算法[9]等，但同时会带

来计算量的增加，不利于实时通信的信号处理。针对频率估计精度与算法复杂度的

矛盾问题，本文从自相关函数相位的角度，推导了一种新的频率估计式，较好地解

决了上述矛盾问题。

由正弦信号的三角函数特性可知

于是，可得下式:

为了进一步提高频率估计性能，对上式进行展开:

其中，p≥1，p≤q≤N－2m－1。于是，可得出本文新的频率估计式:

式中，ξm为整数。

为了研究参数(p，q，m)对频率估值的影响，对上式进行了仿真。在仿真中，当

(m，p，q·m)在(0，π)范围内时，此时 ξm=0，令信号幅度 a=1，θ=0，

ω0=0.01π，SNR=10 dB，N=200，p=1(蒙特卡洛仿真100次)。图1给出了

m=1时不同q值时的频率估计方差，从图1可以看出，随着q值增大，估计性能

不断提升，当q为50左右时，估计性能逐渐接近最佳值。图2给出了q=1时不

同m取值的估计方差，从图2可以看出，当m为60左右时，频率估计性能最佳。

由上式可得频率估计值为

图2 不同m值的估计性能Fig.2 Mean square error versus m

以上仿真中，假设频率范围为(0，π/m)。从图1和图2可以得出，为了提高频率

估计精度，(p，q，m)参数的取值很关键，不难得出(p=1，q=50，m=60)的性能

会好于(p=1，q=50，m=1)及(p=1，q=1，m=60)的性能;而m＞1时会缩小频

率估计范围，为了扩大估计范围，即m，p，q∈(0，π)，此时ξm有2m+1种可

能的值，即存在相位模糊问题，为了准确地找出 ξm值，消除相位模糊，可采取以

下措施(令 m=1，2，…，ε，):

(1)m=1，此时不存在相位模糊问题，即ξ1=0，可求出频率估计值1，p，

q;(2)m=2，求出

时对应的 ξ2，再根据式(13)求出频率估计值 (|·|min为取最小值);

(3)以此类推;

(4)m=ε，求出

时对应的ξε，再根据式(13)求出频率估计值ε，p，q。

综上可知，q值的增大会带来频率估计精度的提升，但同时会导致计算量过大，因

此，在实际应用中，应综合考虑估计性能和计算量之间矛盾的问题。

4 计算量及性能分析

图1 不同q值的估计性能Fig.1 Mean square error versus q

4.1 计算机仿真及性能分析

本节通过计算机MATLAB仿真实验(蒙特卡洛仿真100次)来验证本文提出算法的

估计性能。图3给出SNR=10 dB时不同频率处的性能比较，本文频率估计算法

的性能(m=50，p=1，q=70)在 ω0∈[0.15π，0.85π]达到 CRLB，频率估计范围

与 TSA算法[9]相当，都宽于 算法[5]的频率估计法范围。图4给出了

ω0=0.3π、N=200时不同信噪比下各种算法的性能比较，可以看出，在SNR＞0

dB时，随着信噪比增大，本文算法(m=50，p=1，q=50，m=50，p=1，q=70

及m=50，p=1，q=80)与TSA 算法的估计性能相当，都接近于CRLB，且性能

都好于算法[5];在 SNR＜0 dB 时，随着 SNR 的减小，估计性能偏离CRLB

的程度从大到小依次为算法[5]、本文算法(m=50，p=1，q=50)、本文算

法(m=50，p=1，q=70)、本文算法(m=50，p=1，q=80)和 TSA 算法[9]。

图3 不同频率处的性能比较Fig.3 Mean square error versus ω0

图4 不同信噪比下的性能比较Fig.4 Mean square error versus SNR

综上分析可得，在信噪比较高时，本文算法中q值可以选择较小(q值越小，计算

量越小)，如q=50，其估计性能也接近CRLB;在信噪比较低时，本文算法中q值

可以选择较大，如q=80，其估计性能偏离CRLB最小。

4.2 算法复杂度比较

从表1可以看出，本文算法的计算量(与 O(N2)成正比)高于 算法[5]，低于

TSA算法[9]的计算量(与 O(N3)成正比)。由式(8)、式(9)、式(13)可以看出，

算法[5]只利用几个自相关系数进行频率估计，本文算法利用多个自相关系数且通

过递推的方式求出频率值，而TSA算法[9]是在一步自相关的基础上再作自相关运

算，其计算量最大。从图4的仿真结果来看，本文算法(m=50，p=1，q=80)与

TSA算法的频率估计性能非常接近，但本文算法的计算量约为TSA算法[9]的2/5，

非常有利于信号的实时处理。

表1 算法计算量比较Table1 Comparison of arithmetic operations算法 加减

乘本文算法(p=1，q=2N/5，m=3N/10)25N2+1 74 4N－3 2 5N2+3N+1

算法 4N－12 2N－7 TSA算法(M=(N－1)/2)2NM2+M2－8 3M3－32N+224

NM2+M2－4 3M3－26 3M－16N+104

5 结论

充分利用自相关函数包含的频率信息进行频率估计，可以使估计性能得到提升。本

文针对加性高斯白噪声的正弦信号，提出了基于加窗自相关函数相位噪声的频率估

计算法。文中推导了自相关函数相位噪声的频率估计式，并针对频率估计范围与频

率估计精度之间的矛盾问题，提出了一种消除相位模糊的方法。仿真结果表明，在

信噪比较高时，估计方差接近克拉美罗下界(CRLB)，且在估计性能相同条件下，

与TSA算法相比，本文算法的计算量大大降低，在工程上具有很好的应用价值。

然而，在现有的众多算法中，低信噪比时的估计性能还是不够理想，如何更好地挖

掘自相关函数包含的频率信息，降低频率估计的信噪比阀值，将是我们进一步研究

的内容。

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