2024年5月9日发(作者：电脑系统深度技术)

第14章 相对论基础习题

14.1一观察者测得运动着的米尺长为0.5m，问此米尺以多大的速度接近观察者？

解：米尺的长度在相对静止的坐标系中测量为1m，当米尺沿长度方向相对观察者运

动时，由于“长度收缩”效应，观察者测得尺的长度与相对运动的速度有关。

设尺的固有长度为L，由长度收缩效应

LL1

'



2

c

2

，得

L

'2



c1

2

2.610

8

ms

1

L

14.2一张正方形的宣传画边长为5m，平行地贴在铁路旁边的墙上，一高速列车以

210

8

ms

1

的速度接近此宣传画，问若是高速列车上的乘客测量该画的边长为多少？

解：由题意得，在垂直于相对运动的方向上，画的高度不变，在平行于相对运动的方

向上，长度变短。由长度收缩效应公式

LL1

'



2

c

2

3.7m

2

53.7m

乘客测量的尺寸为。

16

'

14.3 从地球上测得，地球到最近的恒星半人马座

S

星的距离为

4.310m

。某宇宙飞

船以速率



=0.99c从地球向该星飞行，问飞船上的观察者将测得地球与该星间的距离为多

大？

解：飞船上的观察者认为地球与

S

星的距离是运动的，故长度收缩。

'

即

ll

0

1



2

c

2

6.110

15

m

14.4如果地面上的观察者测得彗星的长度等于随彗星运动的观察者所测得的一半，求

彗星相对于地面的速率是多少？

l1



2

l

c

，又已知

0

2

解：根据长度缩短公式，有

ll

0

2

1

v

81



3c/22.610ms

所以

14.5 一根米尺静止在

S

系中，与

o

’

x

’轴成

30

角，如果在

S

系中测得米尺与

ox

轴

'



成

45

角，

S

‘

相对于

S

的速率（沿

ox

轴正向运动）必须是多少？

S

系测得的米尺的长度是



多少？

解：设米尺在

S

系中的长度为

l

0

，坐标为



x

0

,y

0



，在

S

系中长度为

l

，坐标为



x,y



。在

S

'

2

1



x

系中看来，米尺仅在方向缩短倍，

y

方向上长度不变。故有

yy

0

l

0

sin30



＝0.5m

xyctg45



y

0

＝0.5m

22

lxy0.707m

所以

由

xx

0

1



2

c

2

，并将

xy

0

，

x

0

3y

0

代入上式，得





2

c

3

14.6 一个在实验室中以0.8

c

的速率运动的粒子，飞行3m后衰变，实验室中的观察

者测量，该粒子存在了多长时间？由一个与该粒子一起运动的观察者来测量，这粒子衰变

前存在多长时间？

解：在实验室（

S

系）测量，该粒子存在的时间为

s3

1.2510

8

s

8

0.8310

t





'

S

在与该粒子一起运动的参考系（系）中测量，该粒子衰变前存在的时间为

t

'

t1



2

c

2

7.510

9

s

14.7 在惯性系

S

中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s，从另一

惯性系

S

‘

中观察到这两个时间间隔为6.0s 。求从

S

‘

系测量到这两个事件的空间间隔是多

少？设

S

‘

系以恒定速率相对于

S

系沿

xx

‘

轴运动。

解：由相对论时间膨胀效应可知，在

S

系中测得在

S

系中的同一地点发生的两个事件

'

t

'



t

1



2

c

2

的时间间隔

t

要比在

S

系中测得的

t

长，即有：

'

由此可得

S

系相对于

S

系的速率为：

'

5



t





c1



'



c

3

t



2

此两事件在

S

系中的空间间隔为

'

x

'





t

'

1.3410

9

m

14.8 一观察者看到

A、B

两宇宙飞船以0.99

c

的速率彼此离开，求从一个飞船上看到

另一个飞船的速率为多大？

'

S

S

解：设观察者静止于系，系固定于船

A

，并以船

A

的飞行方向为

x

轴正向，由题

'

意，

S

系相对于

S

系的速率为



0.99c

，

S

系的观察者测得船

B

的速率为

u

x

0.99c

，由洛

仑兹速度变换式得

u

x





1

'

u

x





0.99995c

c

2

u

x

所以从一个飞船上看到另一个飞船的速率为

0.99995c

14.9 火箭

A

以0.8

c

的速率相对于地球向正北飞行，火箭

B

以0.6

c

的速率相对于地球

向正西飞行，求由火箭

B

测得火箭

A

的速度大小和方向。

解：设

S

系固定于地球，

S

系固定于火箭B，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，

'

'

u0.8c

火箭A为运动物体。根据题意，

S

系相对于

S

系的速度为



0.6c

，且

u

x

u

z

0

，

y

，

由洛仑兹速度变换式得

u

'

x

u

x





1



0.6c

u

'

y

u

y

1



2

1

c

2

u

x



c

2

0.64c

，

u

x

所以火箭

B

测得火箭

A

的速度

u

的大小为

'

'2

u

'

u

x

u

'

y

2

0.877c

与

x

轴（正东）的夹角为：

'



cos

1

(u

x

/u

'

)46.83



14.10

S

系中有一原长为

L

0

的棒沿

x

轴放置，并以速率

u

沿

xx

‘

轴运动，有一

S

系以

'

速率

v

相对于

S

系沿

xx

‘

轴运动。求从

S

系测量此棒的长度为多少？

'

解：设棒相对于

S

系的速率为

u

，由于棒和

S

系相对于

S

系的运动方向相同，根据洛仑

兹速度变换式，有

u



1

'''

u

'





c

2

u

（1）

由长度收缩公式可知，在

S

系中测得速率为

u

的运动直棒的长度为

''

ll

0

1

u

'2

c

2

（2）

将（1）代入（2）中，得

ll

0

1

u

　

l

0

c

2

u



'2

c

2

l

0



c(u



)



1



2



cu







2



c

2

u

2

c

2





2



3

14.11 两个婴儿

A、B

分别在相距

2.010m

的两所医院里同时出生。若一宇宙飞船沿

3

两医院的连线方向由

A

向

B

飞行时，测得

A

、

B

出生地相距为

1.010m

。求宇航员认为

A

、

B

是同时出生的吗？

3

'

解：将

S

系和

S

系分别固定于地面和飞船，并使

xx

’

轴正向沿飞行方向。将

x2.010m

'3

x1.010m

代入相对论长度收缩公式 和

x

'

x1

v

2

c

2

得飞船的速率为





3

c

2

t

'

t



x/c

2

1v

2

c

2

，得

t

'

1.1510

5

s

又根据公式

负号表示离坐标原点近的婴儿A后出生。

14.12 静止时测得一立方体的体积为

V

0

，质量为

m

0

。现沿某一棱的方向以速率



运

动进行测量，求其体积和密度各为多少？

解：静止观察者测得的长、宽、高分别为

x

0

y

0

z

0

有相对运动时，测量值为

xx

0

1

v

2

c

2

，

yy

0

，

zz

0

则相应的体积为

Vxyzx

0

y

0

z

0

1v

2

c

2

V

0

1



2

相应密度为

m

0

1



2

m

0

m





V

V

0

1



2

V

0



1



2

c

2



14.13 当电子的运动速率达到



=0.98

c

时，求（1）其质量

m

等于多少？（2）此时

电子的动能等于多少？

解：（1）由相对论质量公式，有

m

m

0

1



2

c

2

45.8210

31

kg

（2）由相对论动能公式，有

E

k

mc

2

m

0

c

2

3.3010

13

J

9

3.010eV

。试问（1）这时电子的质量是其14.14 一被加速器加速的电子，其能量为

静止质量的多少倍？（2）此时电子的速率是多少？

E

c

2

，故此时电子质量

m

与其解：（1）根据质能关系，被加速的电子的运动质量为

静止质量

m

0

之比为

mE

5.8610

3

2

m

0

m

0

c

m

m

m

0

1



2

c

2

，得 （2）由相对论的质量公式

2

m

0



1

2

c0.999999985c

m

14.15 一个粒子的动量为非相对论动量的2倍，问该粒子的速率是多少？

解：按题意有

m

0



P

＝

P

非

1



2

m

0



c

2

2

解之得





3

c2.610

8

ms

1

2

14.16 把一个静质量为

m

0

的粒子，从静止加速到0.01

c

的速率时，外力需对粒子做

多少功？又从0.89

c

加速到0.9

c

时，外力需做多少功？比较两种情况下的结果，说明了什

么？

解：由动能定理，得

A

1

E

1

m

1

c

2

m

0

c

2





1



　　



1



m

0

c

2

0.005m

0

c

2

2



1



0.01c











c





A

2

E

2

m

3

c

2

m

2

c

2





11



　　





22

0.9c0.89c





11





cc











22

mc0.1mc

00









结果说明在高速情况下，要想提高粒子的速度需要更多的能量。

14.17 若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。

解：粒子的静能

E

0

是指粒子在相对静止的参考系中的能量。由相对论质能关系得

E

0

m

0

c

2

0.512MeV

由相对论动能定义可得电子的动能为

E

k

EE

0

4.488MeV

由相对论动量与能量关系式

2

E

2

p

2

c

2

E

0

，得电子的动量为

p

1

2

E

2

E

0

2.6610

21

kgms

1

c

由

EE

0

1



2

c

2

，可得电子速率为

2

E

2

E

0



c0.995c

E

2

14.18 中子星质量

m

＝1.5×10

30

kg，半径

R

＝

1.010

，设想双生子甲、乙生活在上

5

面，甲在表面，乙在距中心坐标2

R

处，求在甲70岁时，乙的年龄是多大？

解： 应用引力时间延缓公式

dt'

1

2Gm

c

2

R

dt

dt

甲

＝dt1

2Gm

c

2

R

甲

dt

乙

＝dt1

2Gm

c

2

R

乙

dt

甲

dt

乙

1

＝

1

2Gm

c

2

R

甲

2Gm

c

2

R

乙

1

2Gm

2

2Gm

2

dt

甲

（1

2

）＝dt

乙

（1

2

）

cR

乙

cR

甲

1

应用泰勒公式忽略高阶无穷小

12Gm12Gm

）＝dt（1）

乙

2

c

2

R

乙

2

c

2

R

甲

dt

甲

（1

dt

甲

（1

GmGm

）＝dt（1）

乙

22

cR

乙

cR

甲

6.6710

11

1.510

30

6.6710

11

1.510

30

dt

甲

（1）＝dt

乙

（1）

165165

91021091010

dt

甲

（15.55810

3

）＝dt

乙

（11.11210

2

）

dt

甲

＝dt

乙

0.98888

0.99444

0.98888

70.4岁

0.99444

dt

甲

＝70

14.19 珠峰 8.4km高处放置一只钟，比放置在海平面的钟走得快，不计地球转动影

响，只考虑引力，求珠峰上的钟100年内快多少时间？已知：地球质量m

e

= 5.98×10

24

kg ，地球半径R

e

= 6.378×10

6

m ，山顶距地心R

山

= 6.386×10

6

m 。

解：应用引力时间延缓公式

dt'

1

2Gm

c

2

R

dt

dt

e

＝dt1

2Gm

c

2

R

e

dt

山

＝dt1

2Gm

c

2

R

山

dt

e

＝

dt

山

1

1

2Gm

c

2

R

e

2Gm

c

2

R

山

1

2Gm

2

2Gm

2

dt（1）＝dt（1）

e

山

22

cR

山

cR

e

1

应用泰勒公式忽略高阶无穷小

12Gm12Gm

）＝dt（1）

山

22

2

cR

山

2

cR

e

dt（

e

1

dt（

e

1

GmGm

）＝dt（1）

山

c

2

R

山

c

2

R

e

6.6710

11

5.9810

24

6.6710

11

5.9810

24

dt（）＝dt

山

（1）

e

1

910

16

6.38610

6

910

16

6.37810

6

9

dt（（10.69510

9

）

e

10.69410）＝dt

山

10.69410

9

dt

山

dt

e

＝dt

e

(1)

9

10.69510

=3.136×10

9

×0.1×10

-11

=3.1×10

-3

s