2024年3月26日发(作者：正版win10专业版安装步骤)

三角形结构中的一个解题系统

在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题，

传统的做法通常是“化杂为弦”，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来

解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。

以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切” 的方法以及这一

系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。

一、三角形中的一个运算系统

以下常设，x=

cotA

，y=

cotB

，z=

cotC

（或者x=

tan

陶平生

ABC

，y=

tan

，z=

tan

），其

222

中A、B、C为三角形的三个内角，则有：

1.1）x，y，z中至少有二个正数，并且x+y、y+z、x+z及x+y+z都是正数。

事实上，当x，y，z表示半角的正切函数时，显然x，y，z都是正数。今考虑x，y，z

表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即x，y，z中至少有二个正数，并且

x+y=

cotA

+

cotB

=

加得x+y+z>0。

1.2）

xyyzxz1

这是由于，在三角形ABC中成立等式

cotAcotB

+

cotBcotC

+

cotAcotC

=1，以

cosAcosBsin(AB)

+=>0。同理有y+z>0，x+z>0。又将这三式相

sinAsinBsinAsinB

及

tan

ABBCAC

tan

+

tantan

+

tantan

=1。

222222

1.3）

1x

2

(xy)(xz)

，

1y

2

(xy)(yz)

，

1z

2

(xz)(yz)

这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。

222

1.4）

(1x)(1y)(1z)(xy)(yz)(xz)

；

(xy)(1z

2

)(yz)(1x

2

)(xz)(1y

2

)(xy)(yz)(xz)

；

(1x

2

)(1y

2

)

1z

2

xy

，

(1y

2

)(1z

2

)

1x

2

yz

，

(1x

2

)(1z

2

)

1y

2

xz

。

这只要利用（1.3）式立即可得。

1.5）

1111

（当

xyz0

）



xyzxyz

只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。

1

1.6）

(xy)(yz)(xz)xyzxyz

。

事实上，

(xy)(yz)(xz)(xy)(1z

2

)xy(xzyz)z

xy(1xy)zxyzxyz

1.7）

1112(xyz)

；



222

1x1y1z(xy)(yz)(xz)

xyz2

；



1x

2

1y

2

1z

2

(xy)(yz)(xz)

2xyzx

2

y

2

z

2

1

。

1x

2

1y

2

1z

2

(xy)(yz)(xz)

事实上，

111111



1x

2

1y

2

1z

2

(xy)(xz)(xy)(yz)(xz)(yz)



2(xyz)

，

(xy)(yz)(xz)

xyzxyz



222

1x1y1z(xy)(xz)(xy)(yz)(xz)(yz)

x(yz)y(zx)z(xy)2



(x



y)(y



z)(x



z)(x



y)(y



z)(x



z)

而



x

2

y

2

z

2

111

(1)(1)(1)

又

222222

1x1y1z1x1y1z

=

3

2(xyz)2(xyzxyz)2xyz

3

(xy)(yz)(xz)(xy)(yz)(xz)(xy)(yz)(xz)

2xyz

。

(xy)(yz)(xz)

=

1

就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际

需要，列出更多的等式.

由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解证

三角形中一类不等式时，显得十分有力。

在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变

形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行.

三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便.

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