2024年3月14日发(作者：adobe acrobat破解版下载)

上课材料之三：

第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)

与方差(Variance)

本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。

一、概率(Probability)

1、概率定义(Definition of Probability)

在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件

必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验

的结果会不同。换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那

样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机

事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种

规律性我们称之为统计规律性。

频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改

变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。

对于一个随机事件A，用一个数P（A）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P（A）

就称为随机事件A的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。

对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性

的大小则具有很大的意义。有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建

立了一个新的数学分支——概率论。

概率的定义

定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果它满足如下三个条件：

（i）P（A）≥0，对一切

A

F

（ii）P（Ω）=1；

（iii）若

A

i



，i=1,2…，且两两互不相容，则









P





A

i







P(A

i

)



i1



i1

性质（iii）称为可列可加性（conformable addition）或完全可加性。

推论1：对任何事件A有

P(A)1P(A)

；

推论2：不可能事件的概率为0，即

P(



)0

；

推论3：

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

。

2、条件概率(Conditional Probability)

如果

P

（

B

）＞0，记

P(A/B)

发生的条件概率。

转化后有：

P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)

如果（P（A）＞0），称为概率

的乘法原理。

推广后的乘法原理：

P(AB)

，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A

P(B)

P(A

1

A

2

A

n

)P(A

1

)P(A

2

/A

1

)P(A

3

|A

1

A

2

)P(A

n

|A

1

A

2

A

n1

)

其中

P(A

1

A

2

A

n1

)

＞0。

3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式

设事件

A

1

，

A

2

，…，

A

n

……是样本空间Ω的一个分割，即

A

i

A

j

=φ，

i

≠

j

，而且：



A

i1



i



。

从而

B



AB

，这里

AB

也两两互不相容。

i

i



i1

则

P(B)



P(AB)



P(A)P(B|A)

。

iii

i1i1



这个公式称为全概率公式。

由于

P(A

i

B)P(B)P(A

i

|B)P(A

i

)P(B|A

i

)

故

P(A

i

|B)

再利用全概率公式即得

P(A

i

)P(B|A

i

)

P(B)

P(A

i

|B)

P(A

i

)P(B|A

i

)



P(A)P(B|A)

ii

i1

