2024年5月25日发(作者：)

大学反函数求导例题

反函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于科学、技术、工程

和其他领域。反函数求导是在已知反函数的情况下，求出直接函数的

导数，这在微积分中占有重要地位。本文旨在介绍如何通过反函数求

导来解决具体的数学问题，具体来说就是解决反函数的导数的求导问

题。

定义1:若函数y=f(x)的反函数为y=F(Y)，则称

y=F(y)是y=f(x)的反函数。

微积分定义2：若f是定义在[a,b]上的连续可导函数，则它的

导数f(x)在[a,b]上也是连续函数，其值可以用下面的极限形式给出：

$f’(x) = lim_{h->0} [f(x+h) -f(x)]/h$

反函数求导例题1：求反函数$y=f(x)= sqrt{x}$的导数$f’(x)$

解：设$y=f(x)$的反函数为$y = F(y)$，则

$F(y)=x = y^2$

利用微积分定义2，有$f’(x) = lim_{h->0} [f(x+h) -f(x)]/h$

将y替换为$F(y)$,即可得到

$f(x) = lim_{h->0}[sqrt{x+h} - sqrt{x}]/h$

将h=y-x代入，即可得到

$f(x) = lim_{y^2-x->0}[sqrt{x+y^2-x} - sqrt{x}]/(y^2-x)$

将公式化简，得到

$f(x) = lim_{y^2-x->0}[sqrt{y^2} - sqrt{x}]/(y^2-x)$

将$y^2$代入，即可得到

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$f(x) = lim_{y^2-x->0}[y - sqrt{x}]/(y+ sqrt{x})$

由定义2可知，当h→0时，$y- sqrt x to 0$，$y+ sqrt x to

2 sqrt x$

因此，最终得到

$f(x) = frac{1}{2sqrt x}$

反函数求导例题2：求反函数$y=f(x)= ln x$的导数$f(x)$

解：设$y=f(x)$的反函数为$y = F(y)$，则

$F(y)=x = e^y$

根据微积分定义2，有$f’(x) = lim_{h->0} [f(x+h) -f(x)]/h$

将y替换为$F(y)$,即可得到

$f(x) = lim_{h->0}[ln(x+h) - ln x]/h$

将h=e^y-x代入，即可得到

$f(x) = lim_{e^y-x->0}[ln(x+e^y-x) - ln x]/(e^y-x)$

将公式拆分，得到

$f(x) = lim_{e^y-x->0}[ln e^y - ln x]/(e^y-x)$

由定义2可知，当h→0时，$ln e^y - ln x to 1$，$e^y-x to

0$

因此，最终得到

$f(x) = frac{1}{x}$

以上两个例题的解法与正常的求导解法略有不同，但其实原理是

一样的。即找到反函数，用它替换正常函数，再根据微积分定义2，

利用极限形式求导数。

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总结，反函数求导是根据微积分定义2，既利用已知反函数，又

能够求得直接函数的导数，用于解决复杂问题的一种方法，其实质是

求极限。掌握了反函数求导的思路，我们就可以更好地解决相应的数

学问题，并有效地提高数学学习的效率。

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