2024年5月2日发(作者：)

随机事件和概率--知识讲解

【学习目标】

1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，

并根据这些特点对有关事件作出准确判断；

2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.

【要点梳理】

要点一、必然事件、不可能事件和随机事件

1.定义：

（1）必然事件

在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．

（2）不可能事件

在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．

（3）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

要点诠释：

1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事

件”；

2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件

发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大

有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.

要点二、概率的意义

概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试

验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数

.

附近，那么这个常数就叫做事

件A的概率(probability)，记为

要点诠释：

(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即

然事件)=1，P(不可能事件)=0，0

【典型例题】

，其中P(必

类型一、随机事件

1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？　

①

若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；　

②没有空气，动物也能生存下去；　

③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；　

　④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；　　

⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；　

⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为

白球.　

【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.

【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.

举一反三

【变式1】下列事件是必然事件的是( )．

A．明天要下雨;

B．打开电视机，正在直播足球比赛;

C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;

D．买一张彩票，一定会中一等奖.

【答案】C.

【变式2】下列说法中，正确的是( )．

A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;

B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;

C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;

D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.

【答案】C.

2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红

球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？

哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？

(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；

(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；

(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.

【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；

　 　(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；

　 　(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.

【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.

举一反三

【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，

则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于

双方都公平的游戏.

【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能

性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.

类型二、概率

3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种

球除颜色外没有任何区别，并搅匀．

（1）取出红球的概率为，白球有多少个？

（2）取出黑球的概率是多少？

（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？

【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．

由题意得：4+8+x=4×5，

解得：x=8，

答：白球有8个；

（2）取出黑球的概率为：

答：取出黑球的概率是，

（3）设再在原来的袋中放入y个红球．

由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，

解得：y=4，

答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．

【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比．

举一反三

【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有

三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观

众，选择并打开后得到礼物的可能性是（　　）

　 A．

【答案】D.

4. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数

n

进球次数

m

进球频率

8

6

10

8

12

9

9

7

16

12

10

7

B． C． D．

，

m

n

(1)计算表中各场次比赛进球的频率；

(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?

【答案与解析】

（1）

投篮次数

n

进球次数

m

进球频率

8

6

10

8

12

9

9

7

16

12

10

7

m

0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7

n

(2)P(进球)≈0.75.

【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.

举一反三

【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数(ｎ)

击中靶心次数(ｍ)

10

9

　

击中靶心频率()

20

19

　

50

44

　

100

91

　

200

178

　

500

451

　

(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；

　　(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？

【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90.

　 　(2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.

概率的计算--知识讲解

【学习目标】

通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值

1、

范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；

能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率

2、

的区别与联系.

【要点梳理】

要点一、古典概型

满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

（1）

一次试验中，可能出现的结果是有限的；

（2）

一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

要点诠释：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m

种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

m

.

n

要点二、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1.

列表法：

　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2.

树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用

树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能

的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

要点三、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估

计概率.

要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果

将较为精确.

【典型例题】

类型一、用列举法求概率

1．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸

到黄球的概率是(　 )　　A.

【答案】C.

【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率

　　　 B.　　　 C.　　　 D.

是.

【总结升华】这是一道典型的古典概型题.

举一反三：

　【变式】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则

它停留在阴影部分的概率是_____.

【答案】

P

（停在阴影部分）=

2

.

3

2.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克

牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两

张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回

答，不说明理由）

【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件

的概率，比较即可．

【答案与解析】

解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：

列表法，

小明 2 3 4 5

小刚

2 （2，3） （2，4） （2，5）

3 （3，2） （3，4） （3，5）

4 （4，2） （4，3） （4，5）

5 （5，2） （5，3） （5，4）

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：

=，则小刚获胜的概率为：，

故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；

（2）不公平．理由如下：

小明 2 3 4

小刚

2 （2，3） （2，4）

3 （3，2） （3，4）

举一反三：

【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，

黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为

1

.

2

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球

的概率.

【答案】（1）1个；

（2）

P

（两次摸到白球）=

1

.

6

类型二、利用频率估计概率

3. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的

机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：　　

(1)计算并完成表格：

转动转盘的次数n

落在“铅笔”的次数m

落在“铅笔”的频率

100 150 200 500 800 1000

68 111 136 345 546

　 　 　 　 　

701

　

(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？

　　(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？

　　(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)

　

【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；

　 (2)　0.69；

(3) 由（1）的频率值可以得出

P

（获得铅笔）=0.69；

　 (4) 0.69×360°≈248°.

【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、

直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．

举一反三：

　【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过

一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计

池塘里有鱼______________条．

【答案】条 .

4.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，

摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是

0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）

　 A．16个 B． 20个 C． 25个 D． 30个

【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，

根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【答案】A.

【解析】设红球有x个，根据题意得，

4：（4+x）=1：5，

解得x=16．

故选A．

【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.