2024年5月1日发(作者：)

2024年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为

“

堑堵

”.

某

“

堑堵

”

的三视图如图，则它的外接球的表面积为（

）

A

．

4

π

B

．

8

π

C

．

642

D

．



8

3

2．设直线

l

的方程为

x2ym0(mR)

，圆的方程为

(x1)

2

(y1)

2

25

，若直线

l

被圆所截得的弦长为

25

，则

实数

m

的取值为

A

．

9

或

11

3．已知全集

A

．

2

B

．

7

或

11

，

B

．

C

．

7

，则

C

．

（

）

D

．

9

D

．

1)

，若抛物线

C

上的点

A

关于直线

l：y＝2x2

对称的点

B

恰好在4．已知抛物线

C：x＝2py(p＞0)

的焦点为

F(0，

11(x3)

上，则直线

AF

被

C

截得的弦长为（

）

射线

y＝

A

．

91

9

B

．

100

9

C

．

118

9

D

．

127

9

5．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为

1

，则该三棱锥外接球的表面积为（

）

A

．

27



B

．

28



C

．

29



D

．

30



6．总体由编号为

01

，

02

，

...

，

39

，

40

的

40

个个体组成

.

利用下面的随机数表选取

5

个个体，选取方法是从随机数表（如

表）第

1

行的第

4

列和第

5

列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第

5

个个体的编号为（

）

A

．

23 B

．

21 C

．

35 D

．

32

(

其中

O

为坐标原点

)

，则

k

的值为

(

)

7．若直线

y

＝

kx

＋

1

与圆

x

2

＋

y

2

＝

1

相交于

P

、

Q

两点，且∠

POQ

＝

120°

A

．

3

B

．

2

2

C

．

3

或－

3

D

．

2

和－

2

8．设函数

f



x



2cosx23sinxcosxm

，当

x



0,

A

．









17



fx,



，则

m

（

）



时，







22





2



D

．

1

2

B

．

3

2

C

．

1

7

2

9．已知

a，b

满足

a23

，

b3

，

ab6

,

则

a

在

b

上的投影为（ ）

A

．

2

B

．

1

C

．

3

D

．

2

10．复数



ai



2i



的实部与虚部相等，其中

i

为虚部单位，则实数

a

( )

A

．

3 B

．



1

3

C

．



1

2

D

．

1

11．如图，在等腰梯形

ABCD

中，

AB//DC

，

AB2DC2AD2

，

DAB60

，

E

为

AB

的中点，将

ADE

与

BEC

分别沿

ED

、

EC

向上折起，使

A

、

B

重合为点

F

，则三棱锥

FDCE

的外接球的体积是（

）

A

．

6



8

B

．

6



4

C

．

3



2

D

．

2



3

0



，则

a

的取值范围是（ ）

12．已知

2ab2，ab



4，

A

．

[0

，

1]

1



B

．



，



1





2



C

．

[1

，

2] D

．

[0

，

2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在



2x



的展开式中，

x

3

项的系数是

__________

（用数字作答）．

14．已知向量

a

，

b

满足

|a|2

，

|b|3

，且已知向量

a

，

b

的夹角为

60

，

(ac)(bc)0

，则

|c|

的最小值是

__

．



a



e

Be，2

A1 ， a



15．设集合，



（其中

e

是自然对数的底数），且

AB

，则满足条件的实数

a

的个数为

______

．





5

16．已知



axb



的展开式中

x

4

项的系数与

x

5

项的系数分别为

135

与

18

，则



axb



展开式所有项系数之和为

______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱锥

PABC

中，

ABPC

，点

D

在

PB

上，平面

PAB

MD//

平面

PAC

，

M

是

AB

的中点，

平面

PMC

，

CPM

为锐角三角形，求证：

66

（

1

）

D

是

PB

的中点；

（

2

）平面

ABC

平面

PMC

.

18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点

O

为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长





x3t



度单位

.

已知直线

l

的参数方程为



（

t

为参数），曲线

C

的极坐标方程为

ρ

＝

4sin

（

θ+

）

.

3





y13t

（

1

）求直线

l

的普通方程与曲线

C

的直角坐标方程；

（

2

）若直线

l

与曲线

C

交于

M

，

N

两点，求

△MON

的面积

.

19．（12分）在如图所示的四棱锥

FABCD

中，四边形

ABCD

是等腰梯形，

AB//CD

，

ABC60

，

FC

平

面

ABCD

，

ACBF

，

CBCD1

.

（

1

）求证：

AC

平面

BCF

；

（

2

）已知二面角

FBDC

的余弦值为

5

，求直线

AF

与平面

DFB

所成角的正弦值

.

5

20．（12分）已知函数

f



x



aln



1x



,

g



x





1

3

xax,

h



x



e

x

1

．

3

（

1

）当

x

≥0

时，

f

（

x

）

≤

h

（

x

）恒成立，求

a

的取值范围；

（

2

）当

x

＜

0

时，研究函数

F

（

x

）

=

h

（

x

）﹣

g

（

x

）的零点个数；

（

3

）求证：

1095

10

3000

e

（参考数据：

ln1.1≈0.0953

）．

10002699



xa2t

xOy

21．（12分）在平面直角坐标系中，直线

l

的参数方程为



（

t

为参数），以坐标原点为极点，

x

轴正半



yt

2

轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

的极坐标方程为





12

.

3sin

2



（

1

）若

a2

，求曲线

C

与

l

的交点坐标；

（

2

）过曲线

C

上任意一点

P

作与

l

夹角为

45°

的直线，交

l

于点

A

，且

PA

的最大值为

10

，求

a

的值

.

22．（10分）如图，在三棱柱

ADFBCE

中，平面

ABCD

平面

ABEF

，侧面

ABCD

为平行四边形，侧面

ABEF

为

正方形，

ACAB

，

AC2AB4

，

M

为

FD

的中点

.

（

1

）求证：

FB//

平面

ACM

；

（

2

）求二面角

MACF

的大小

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

B

【解题分析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积

.

【题目详解】

根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为

2

，侧棱长为

2

且与底面

垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，

2222

则

(2R)4R228

，那么

S

外接球

4



R8



.

2

故选：

B

【题目点拨】

本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题

.

2、

A

【解题分析】

圆

(x1)

2

(y1)

2

25

的圆心坐标为（

1

，

1

），该圆心到直线

l

的距离

d

225(

|m1|

2

)25

，解得

m9

或

m11

，故选

A

．

5

|m1|

，结合弦长公式得

5

3、

C

【解题分析】

先求出集合

U

，再根据补集的定义求出结果即可．

【题目详解】

由题意得

∵

∴

故选

C

．

【题目点拨】

本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．

4、

B

【解题分析】

由焦点得抛物线方程，设

A

点的坐标为

(m，m)

，根据对称可求出点

A

的坐标，写出直线

AF

方程，联立抛物线求

交点，计算弦长即可

.

【题目详解】

，

．

，

1

4

2

1)

，

抛物线

C：x＝2py(p＞0)

的焦点为

F(0，

2

p

＝1

，即

p＝2

，

2

1

2

11)，n3

，

设

A

点的坐标为

(m，m)

，

B

点的坐标为

(n，

4

则

如图：

1

2



11m



1

4







nm2

∴



，

1



11m

2

mn



4

22



22



34



m





m6



3

(

舍去

)

，

解得



，或



35

n2





n



9



9)

∴

A(6，

∴直线

AF

的方程为

y＝

4

x1

，

3

设直线

AF

与抛物线的另一个交点为

D

，

2



4

x





x6







yx1

3

由



，解得



或



，

3

1

y9

2





y





x4y



9





21



D

∴



,



，



39



2



1



100



∴

|AD|



6







9





，

3



9



9



故直线

AF

被

C

截得的弦长为

故选：

B

．

【题目点拨】

本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题

.

5、

C

【解题分析】

作出三棱锥的实物图

PACD

，然后补成直四棱锥

PABCD

，且底面为矩形，可得知三棱锥

PACD

的外接球和

直四棱锥

PABCD

的外接球为同一个球，然后计算出矩形

ABCD

的外接圆直径

AC

，利用公式

2R

可计算出外接球的直径

2R

，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积

.

【题目详解】

三棱锥

PACD

的实物图如下图所示：

22

100

．

9

PB

2

AC

2

将其补成直四棱锥

PABCD

，

PB

底面

ABCD

，

可知四边形

ABCD

为矩形，且

AB3

，

BC4

.

矩形

ABCD

的外接圆直径

AC=AB

2

+BC

2

=5

，且

PB2

.

所以，三棱锥

PACD

外接球的直径为

2RPB

2

AC

2

29

，

2

因此，该三棱锥的外接球的表面积为

4



R

2









2R



29



.

故选：

C.

【题目点拨】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题

.

6、

B

【解题分析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第

5

个个体的编号

.

【题目详解】

随机数表第

1

行的第

4

列和第

5

列数字为

4

和

6

，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下

46

，

64

，

42

，

16

，

60

，

65

，

80

，

56

，

26

，

16

，

55

，

43

，

50

，

24

，

23

，

54

，

89

，

63

，

21

，

…

其中落在编号

01

，

02

，

…

，

39

，

40

内

的有：

16

，

26

，

16

，

24

，

23

，

21

，

…

依次不重复的第

5

个编号为

21.

故选：

B

【题目点拨】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题

.

7、

C

【解题分析】

直线过定点，直线

y=kx+1

与圆

x

2

+y

2

=1

相交于

P

、

Q

两点，且∠

POQ=120°

（其中

O

为原点），可以发现∠

QOx

的大

小，求得结果．

【题目详解】

如图，直线过定点（

0

，

1

），

∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°

，

⇒∠1=120°

，∠

2=60°

，

∴由对称性可知k=±

3

．

故选

C

．

【题目点拨】

本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．

8、

A

【解题分析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．

【题目详解】

f



x



2cos

2

x23sinxcosxm

1cos2x3sin2xm

2sin(2x)m1

，

6





7





1







x



0,



时，

2x[,]

，

sin(2x)[,1]

，∴

f(x)[m,m3]

，

666

62



2



由题意

[m,m3][,]

，∴

m

故选：

A

．

【题目点拨】

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．

9、

A

【解题分析】

根据向量投影的定义，即可求解

.

【题目详解】

17

22

1

．

2

ab6

acos



2

.

a

在

b

上的投影为

3

b

故选

:A

【题目点拨】

本题考查向量的投影，属于基础题

.

10、

B

【解题分析】

利用乘法运算化简复数



ai



2i



即可得到答案

.

【题目详解】

由已知，



ai



2i



2a1(a2)i

，所以

2a1a2

，解得

a

.

故选：

B

【题目点拨】

本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题

.

11、

A

【解题分析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．

【题目详解】

由题意等腰梯形中

DAAEEBBCCD

，又

DAB60

，∴

AED

，

BCE

是靠边三角形，从而可得

1

3

DECECD

，∴折叠后三棱锥

FDEC

是棱长为

1

的正四面体，

设

M

是

DCE

的中心，则

FM

平面

DCE

，

DM

6

233

，

FMFD

2

DM

2



，

1

3

323

FDCE

外接球球心

O

必在高

FM

上，设外接球半径为

R

，即

OFODR

，

∴

R

2

(

63

6

，

R)

2

()

2

，解得

R

4

33

4466



R

3





()

3





．

3348

球体积为

V

故选：

A

．

【题目点拨】

本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．

12、

D

【解题分析】

1

11

2



13



2





am，



，

m2

amm

0



，设

m2ab

，可得

abam2a



4，

构造（）

2

，结合，可得



4

416



22



2

根据向量减法的模长不等式可得解

.

【题目详解】

设

m2ab

，则

m2

，

bm2a，abam2a

2





4，0



，

∴（

a

1111

m

）

2

a

2

a

•

mm

2



2

m

2

421616

2

m

2

1

|

m

|

m

＝

4

，所以可得：



，

82

2

配方可得

所以

a

11

2

119

m2(am)

2

4m

2



，

28482

1



13



m



，



，

4



22



111

||a||m||am||a||m||

又

444

则

a

[0

，

2]

．

故选：

D

．

【题目点拨】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

.