2024年4月21日发(作者：)
进位制
知识框架
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的
大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二
123
进制的计数单位分别是1、2、2、2、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制
543210
中表示为：(100110)
2
=1×2+0×2+0×2+1×2+1×2+0×2。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一
得一。
0
注意：对于任意自然数
n
,我们有
n
=1。
3.
k
进制：
一般地，对于
k
进位制，每个数是由0，1，2，，共
k
个数码组成，且“逢
k
进一”．
（k1）（kk1）
进位制计数单位是
k
0
，
k
1
，
k
2
，．如二进位制的计数单位是
2
0
，
2
1
，
2
2
，
单位是
8
0
，
8
1
，
8
2
，．
4.
k
进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
，八进位制的计数
（a
n
a
n1
nn1
a
1
a
0
）
k
a
n
ka
n1
ka
1
ka
0
a
0
10
0
； 十进制表示形式：
Na
n
10
n
a
n1
10
n1
二进制表示形式：
Na
n
2
n
a
n1
2
n1
a
0
2
0
；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上
k
，表示是
k
进位制的数
如：
（352）（1010）（3145）
8
，
2
，
12
,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.
k
进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为
k
进制数的方法是：除以
k
取余数，一直除到被除数小于
k
为止，余数由下
到上按从左到右顺序排列即为
k
进制数．反过来，
k
进制数化为十进制数的一般方法是：首先将
k
进
制数按
k
的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
如右图所示:
八进制
十进制 二进制
十六进制
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例题精讲
【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来
(9865)
10
(11)
2
(9865)
10
(303430)
5
(9865)
10
(23211)
8
【答案】
(9865)
10
(11)
2
,
(9865)
10
(303430)
5
,
(9865)
10
(23211)
8
【巩固】
567( ）
8
( ）
5
( ）
2
；
【考点】十进制化成多进制 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题是进制的直接转化：
567(1067）））
8
(4232
5
(1000110111
2
；
【答案】
567(1067）））
8
(4232
5
(1000110111
2
【例 2】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，
(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。
【答案】26.75
【巩固】 同学们请将
(11010101)
2
,(4203)
5
,(7236)
8
化为十进制数，看谁算的又快又准。
【考点】多进制转化成十进制 【难度】3星 【题型】解答
(11010101)
2
12
7
12
6
02
5
12
4
02
3
12
2
02
1
12
0
【解析】
128641641213
(4203)
5
45
3
25
2
05
1
35
0
500503553
(7236)
8
78
3
28
2
38
1
68
0
35841282463742
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