2024年4月16日发(作者：)

4-1-3.角度计算

知识点拨

一、角

1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角

2、表示角的符号：∠

3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种

（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。

（2）直角：等于90°的角叫做直角。

（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

（4）平角：等于180°的角叫做平角。

（5）优角：大于180°小于360°叫优角。

（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

（7）周角：等于360°的角叫做周角。

（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

（9）正角：逆时针旋转的角为正角。

（10）0角：等于零度的角。

4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角

就越大，相反，张开的越小，角则越小。

二、三角形

1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形

2、内角和：三角形的内角和为180度；

外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；

（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

3、三角形的分类

（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。

直角三角形：有一个角等于90度。

钝角三角形：有一个角大于90度。

注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形

（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

模块一、角度计算

【例1】有下列说法：

(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，

(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．

(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．

(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．

(5)三角形的三个内角可以都是锐角．

(6)直角三角形中可胄邕有钝角．

(7)

25

的角用10倍的放大镜看就变成了

250

其中，正确说法的个数是

【考点】角度计算【难度】

3

星【题型】填空

【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．

【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法

1

【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。

【考点】角度计算

【解析】∠1

【答案】∠1

【难度】

2

星【题型】填空

【例3】如图，在直角

AOB

内有一条射线

OC

，并且

AOC

比

BOC

大20。则

BOC

是__________

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】

90



20



235



【答案】

35



【例4】直线AB、CD相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示。则∠3



∠1=______。



【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）



（∠1+∠2）



∠3



∠1=

90



【答案】

90



【例5】如图，共端点A的线段a与d，b与e，c与f分别垂直，a与b的夹角是30°，e与f的夹角是45°，求c

与d的夹角的度数。

【考点】角度计算【难度】

3

星【题型】解答

【解析】a与b的夹角为30度，所以b与d的夹角为

903060

度，所以d与e的夹角是

906030

度，所以c

与d的夹角为

90304515

度.

【答案】15度

图4

l上，则图中所有小于平角的角之和是【例6】如图，直角的顶点在直线度。

【考点】角度计算【难度】

3

星【题型】填空

【解析】由一部分组成的角之和是180度，由两部分组成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。

【答案】450度

2

【例7】如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB＝________度。

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】所有小于平角的角之和=∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度，故∠2=40度。

【答案】∠AOB=40度

【例8】两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。如果在平面上

画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：（1）L

的最大值是多少？（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

【考点】角度计算【难度】4星【题型】解答

【解析】（1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、

45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。

否则，必有两条直线平行。

（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的

角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3

和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是

90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。

【答案】（1）12条；（2）3240°

【例9】如图，点

O

为直线

AB

上一点，

BOC

是直角，

BOD:COD4:1

则

AOD

是______度.

【考点】角度计算【难度】

3

星【题型】填空

【解析】

BOD:COD4:1

，所以

BOC:COD3:1

，所以

COD30

.所以

AOD

是60度.

【答案】60度

3

模块二、三角形内的角度计算

'

【例10】如图，将

△ABC

绕点C按顺时针方向旋转30°，得到

△B

'

AC

，若

AC⊥A

'

B

'

，则∠BAC的度数是。

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

'

【解析】因为

△B

'

AC

是

△ABC

绕着点

C

旋转得到的，所以

∠A=∠A

'

,根据三角形的内角和定理知道

∠

A180

o



∠

ACA

'

90

o

180

o

90

o

30

o

60

o

【答案】∠BAC度数是

60

o

【例11】如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A=度。

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】∠5=130度，那么∠2+∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=100度，∠A=180-100=80

度

【答案】80度

【例12】如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC

的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝，而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21，∠B＝∠C，

∴3×∠B＋21°＝180°,∴∠B＝46°

∠DAC＝46°＋21°＝67°，∠BAC＝67°＋21°＝88°

∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.

【答案】△ABC和△ADC是锐角三角形

【例13】如图，将四边形ABCD的四条边分别延长一段，得∠CBE,∠BAH,∠ADG,∠DCF,那么，这四个角的和等

于。

【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空

【解析】凸多边形的外角和等于360。

【答案】360

4

模块三、角度在行程问题中的应用

【例14】小明从家里出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达

点B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距离家米。

【考点】角度计算【难度】2星【题型】填空

【解析】通过画图可知小明距离家是200米。

【答案】200米

【例15】小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点

B，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C，这时小明距家米。

【考点】角度计算【难度】

2

星【题型】填空

【解析】200米

【答案】200米

5