2024年5月13日发(作者：黑莓9520评测)

圆锥曲线



xacos



x

2

y

2

cb

2

1.椭圆

2



2

1(ab0)

的参数方程是



离心率

e1

2

，

ab

ybsin



aa



b

2

a

2

准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）

p

. 通径的一半(焦参数)：

c

c

b

2

.

a

x

2

y

2

2.椭圆

2



2

1(ab0)

焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

ab

a

2

a

2

FPF

PF

1

e(x)aex

，

PF

2

e(x)aex

；

S

F

1

PF

2

b

2

tan

1

.

cc

2

22

x

0

y

0

x

2

y

2

3.椭圆的的内外部: （1）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

2



2

1(ab0)

的内部



2



2

1

.

abab

22

x

0

y

0

x

2

y

2

（2）点

P(x

0

,y

0

)

在椭圆

2



2

1(ab0)

的外部



2



2

1

.

abab

x

2

y

2

a

2

cb

2

4.双曲线

2



2

1(a0,b0)

的离心率

e1

2

，准线到中心的距离为，焦

ab

c

aa

b

2

b

2

点到对应准线的距离（焦准距）

p

通径的一半(焦参数)：

c

a

a

2

a

2

焦半径公式

PF

1

|e(x)||aex|

，

PF

2

|e(x)||aex|

，

cc

FPF

两焦半径与焦距构成三角形的面积

S

F

1

PF

2

b

2

cot

1

.

2

x

2

y

2

5.双曲线的内外部: (1)点

P(x

0

,y

0

)

在双曲线

2



2

1(a0,b0)

的内部

ab

22

x

0

y

0



2



2

1

.

ab

22

x

0

y

0

x

2

y

2

(2)点

P(x

0

,y

0

)

在双曲线

2



2

1(a0,b0)

的外部



2



2

1

.

abab

6.双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x

2

y

2

x

2

y

2

b

(1）若双曲线方程为

2



2

1



渐近线方程：

2



2

0

yx

.

ab

ab

a

x

2

y

2

xy

b

(2)若渐近线方程为

yx



0



双曲线可设为

2



2



.

ab

ab

a

x

2

y

2

x

2

y

2

(3)若双曲线与

2



2

1

有公共渐近线,可设为

2



2



abab

（

0

,焦点在x轴上;

0

,焦点在y轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是

b

7.抛物线

y

2

2px

的焦半径公式:

p

xp0



0

x

. 过焦点弦长抛物线

y

2

2p(

焦

)

半径

CF

2

pp

CDx

1

x

2

x

1

x

2

p

.

22

y

8.抛物线

y2px

上的动点可设为P

(



,y



)

或

P(2pt

2

,2pt)

P

(x,y)

，其中

y

2

2px

.

2p

b

2

4acb

2

2

9.二次函数

yaxbxca(x)

（1）顶点坐标为

(a0)

的图象是抛物线：

2a4a

b4acb

2

b4acb

2

14acb

2

1

(,)

；

)

；（2）焦点的坐标为

(,

（3）准线方程是

y

.

2a4a2a4a4a

10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的

圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.

2

2

11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:

AB(x

1

x

2

)

2

(y

1

y

2

)

2

或



ykxb

（弦端点A

(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，由方程



消去y得到

ax

2

bxc0

，

0

,



为



F(x,y)0

直线

AB

的倾斜角，

k

为直线的斜率，

|x

1

x

2

|(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

.

12.圆锥曲线的两类对称问题:

（1）曲线

F(x,y)0

关于点

P(x

0

,y

0

)

成中心对称的曲线是

F(2x

0

-x,2y

0

y)0

.

（2）曲线

F(x,y)0

关于直线

AxByC0

成轴对称的曲线是

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0

.

2222

ABAB

特别地，曲线

F(x,y)0

关于原点

O

成中心对称的曲线是

F(x,y)0

.

曲线

F(x,y)0

关于直线

x

轴对称的曲线是

F(x,y)0

.

曲线

F(x,y)0

关于直线

y

轴对称的曲线是

F(x,y)0

.

曲线

F(x,y)0

关于直线

yx

轴对称的曲线是

F(y,x)0

.

曲线

F(x,y)0

关于直线

yx

轴对称的曲线是

F(y,x)0

.

13.圆锥曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线

l

的距离之比为常数

e

，若

0e1

，M

的轨迹为椭圆；若

e1

，M的轨迹为抛物线；若

e1

，M的轨迹为双曲线.

注意：1、还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？

2、还记得圆锥曲线方程中的：

c

（1）在椭圆中：

a

是长半轴，

b

是短半轴，

c

是半焦距，其中

b

2

a

2

c

2

，

e,(0e1)

a

a

2

b

2

b

2

是离心率，是准心距，是准焦距， 是半通径.

cca

c

（2）在双曲线中：

a

是实半轴，

b

是虚半轴，

c

是半焦距，其中

b

2

c

2

a

2

，

e,(e1)

是

a

a

2

b

2

b

2

离心率，是准心距，是准焦距， 是半通径.

cca

（3）在抛物线中：

p

是准焦距，也是半通径.

3、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到

定点的距离比到定直线的距离）

4、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？等轴双曲线的离心率是

多少？（

e2

）

5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？

判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当

0

时：直线与双曲线有两个交点（包括直线

与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当

0

时，直线与双

曲线有且只有一个交点（此时称指向与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交点

F(x