2024年5月12日发(作者：荣耀手机质量怎么样)
2023星光杯初赛（2023年1月）（模拟）
暨GMC第二届冬季网络数学竞赛试题
答题时间：60小时，满分：200分，共10题
题1（20分）
给定正整数
N
，设
a
1
，
a
2
，
，
a
n
是小于
N
的互不相同的正整数，记这
n
个
3
数的最小公倍数为
M
，最大公约数为
m
，已知
M m
，求证：
n
4N
.
2
题2（20分）
设
x
，
y
，
z
为正实数，求证：
xyx
2
y
2
xyyzy
2
z
2
yzxzx
2
z
2
xz
x
2
y
2
xyy
2
z
2
yzx
2
z
2
xz
并指出等号成立的条件.
题3（20分）
p
2
设素数
p3
，求证：
C
2
p
2 mod p
.
题4（20分）
b
，求
给定正实数
0ab
，设
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
a
，
2
22
x
3
x
1
2
x
2
x
4
x
2
x
3
x
4
x
1
x
1
x
2
x
3
x
4
的最小值与最大值.
—1—
题5（20分）
b
平面上有
2022
个向量分别为
a
1
，
a
2
，
a
3
，
，
a
2022
，若
ab0
，则称
a ，
组成一个无序“好向量对”，这
2022
个向量最多能组成多少个“好向量对”？
题6（20分）
如图所示，在
ABC
中，
M
是
BC
的中点，点
P
在
BAC
平分线上，直线
MP
与
APB
，
ACP
的外接圆分别交于不同于点
P
的两点
D
，
E
，
BHMP
于
H
求证：
DE2MH
.
题7（20分）
n
求所有正整数
n
，使存在唯一正整数
an !
，且
n
!
a
1
.
—2—
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