2024年3月20日发(作者：尼康数码单反相机大全)

专题三．汽车做匀变速运动，追赶及相遇问题

◎

知识梳理

在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达

空间某位置.因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位

移关系解出.

（1）追及

追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件.

如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，

还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离.若二者相遇时（追上了），追者速度等

于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大

于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较

大值.

再如初速度为零的匀加速运动的物体追赶同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者

速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上.

（2）相遇

同向运动的两物体追及即相遇，分析同（1）.

相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相

遇.

【例6】一列客车以v

1

的速度前进，司机发现前面同一轨道上有一列货车正以v

2

(v

2

1

)的速

度同向匀速前进，货车车尾距客车的距离为 s。客车立即紧急刹车，刹车加速度大小为

2

a=(v

1

-v

z

)/4s．为避免相撞货车必须同时加速行驶，货车的加速度应满足的条件?

【分析与解答】: 解法一:

设经时间t，恰追上而不相撞时的加速度为a，则：

V

1

t-

1

2

at=v

2

t+s v

1

-at=v

2

2

所以当时，两车不会相撞．

解法二:要使两车不相撞，其位移关系应为

V

1

t-

解法三:

以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度v

0

=v

1

-v

2

、加速度为a的匀减速直线运

/

动．当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移s≤s，则不会相撞．

以两物体运动的位移关系、时间关系、速度关系建立方程是解答追及相遇问题的最基本思

1

2

at



v

2

t+s

2

对任一时间t，不等式都成立的条件为

路．特别注意第三种解法，这种巧取参考系，使两者之间的运动关系更简明的方法是要求同

学们有一定的分析能力后才能逐步学会应用的

【例7】 在铁轨上有甲、乙两列列车，甲车在前，乙车在后，分别以速度v

1

=15m/s),v

2

=40m/s

做同向匀速运动，当甲、乙间距为1500m时，乙车开始刹车做匀减速运动，加速度大小为

2

O.2m/s，问：乙车能否追上甲车?

【分析与解答】 由于乙车速度大于甲车的速度，因此，尽管乙车刹车后做匀减速直线

运动，速度开始减小，但其初始阶段速度还是比甲车的大，两车的距离还是在减小，当乙车

的速度减为和甲车的速度相等时，乙车的位移大于甲车相对乙车初始位置的位移，则乙车就

一定能追上甲车，设乙车速度减为v

1

=15m/s时，用的时间为t，则有

V

1

=v

2

-at

t=(v

2

-v

1

)/a=125s

在这段时间里乙车的位移为

S

2

=

v

1

v

2

t

=3437．5m

2

在该时间内甲车相对乙车初始位置的位移为

S

1

=1500十v

1

t=3375m

因为s

2

>s

1

，所以乙车能追上甲车。

【例8】 火车以速度v

1

匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列火车沿同方向

以速度v

2

（对地、且v

1

＞v

2

）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车.要使两车不相撞，

a应满足什么条件?

【分析与解答】：此题有多种解法.

解法一：两车运动情况如图所示，后车刹车后虽

做匀减速运动，但在其速度减小至和v

2

相等之前，两

车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车

速度，两车距离将逐渐增大.可见，当两车速度相等时，

两车距离最近.若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追

上前车，发生撞车事故；若后车减速的加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等

时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速

度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相

撞的最小加速度.综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：

v

1

t－

1

2

a

0

t

＝v

2

t＋s

2

v

1

－a

0

t＝v

2

2

（v

2

v

1

）

解之可得：a

0

＝.

2s

2

（v

2

v

1

）

所以当a≥时，两车即不会相撞.

2s

解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为

v

1

t－

即

1

2

at

≤s＋v

2

t

2

1

2

at

＋（v

2

－v

1

）t＋s≥0

2

对任一时间t，不等式都成立的条件为

Δ

＝（v

2

－v

1

）

2

－2as≤0