2024年3月8日发(作者：win7彻底重置 清除所有软件)

题干 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］，

证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)

答案

证：因为：X(k)x(n)WNkn

n0N1所以：DFT[X(n)]X(n)Wn0N1knNN1mnknx(m)WNWN

n0m0N1 由于：WNn(mk)n0N1NmNk

0 mNk,0 m  N1 所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)

k=0, 1, …,

N－1

题干

1如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理：x(0)NX(k)

k0N1答案

证: 由IDFT定义式：

可知：

题干

证明: 若x(n)为实序列，X(K)DFT[x(n)] 则X(k)为共轭对称序N列， 即X(K)X答案

*(Nk)。

证: 由DFT的共轭对称性。

将x(n)表示为

x(n)=xr(n)+jxi(n)

则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)

其难：Xep(k)=DFT［xr(n)］， 是X(k)的共轭对称分量；

Xop(k)=DFT［jxi(n)］, 是X(k)的共轭反对称分量。

所以：如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0， 故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(K)X*(Nk)。

题干

证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，且X(K)DFT[x(n)] 则NX(k)也实偶对称。

答案

证明：由DFT的共轭对称性可知， 如果

x(n)=xep(n)+xop(n)

则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］

则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以： 当x(n)=x(N－n)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。 又实序列的DFT必然为共轭对称函数，

即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。

题干

证明： 若x(n)实奇对称， 即x(n)=－x(N－n)，且X(K)DFT[x(n)]

N则X(k)为纯虚函数并奇对称。

答案

证明：由DFT的共轭对称性可知， 如果

x(n)=xep(n)+xop(n)

则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］

则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］

所以：当x(n)=－x(N－n)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称，

X(k)=X*(N－k)=－X(N－k), 为纯虚奇函数。

题干 证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，

Y(k)=DFT［y(n)］，

y(n)IDFT[Y(k)]Wx(n)Nln如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)， 则

答案

证：

1y(n)IDFT[Y(k)]NY(k)Wk0N1knN令m=k+l, 则

题干

答案

证明离散帕塞瓦尔定理。 若X(k)=DFT［x(n)］， 则

证：

1N1|X(k)|Nk02N1X(k)Xk0N1*(k)题干

答案

若X(K)=DFT[x(n)]N,证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。

证明：对任意整数m，k,m,NI

题干

答案

证明WNk的周期性，即WNkWNkmN 其中:k,m为整数，N为自然数

题干

答案

证明：

*(Nk)n*X(Nk)[x(n)WN]n0N1题干

答案

证明：

题干

答案

证明：

题干

答案

证明：

题干

答案

证明：

题干

答案

证明:

WkN2NK

WNkN2证明：

WNe(kN)j2N2题干

答案

证明：WNk(1)k

证明：

N2题干

证明：WNmWNNm

答案

证明：

题干

答案

证明：

证明：

题干

答案

证明

kJWNWNk/J证明：WNKJej2KJNje2KNJWNK

J题干

y若(n)证明DFT的线性性质即：

ax1(n)bx2(n)Y(k)DFT[y(n)]aX1(k)bX2(k)则： 其中：a、b为常数

答案

证明：

题干

证明FT的线性性质。即设X1(ejω)=FT［x1(n)］,

X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那么FT[ax1(n)bx2(n)]aX1(ej)bX2(ej)式中,

a，b是常数

答案

证明：

题干

将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：FT[xr(n)]xe(ej)

答案

证明：

实序列的Fourier变换具有共轭对称性

题干

将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：FT[jxi(n)]xo(ej)

答案

证明：Xoejjxneinjn

虚数Fourier变换具有共轭反对称性

题干

答案

证明：FT[xe(n)]XR(ej)

证明：

序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部XR(ejω)

题干

答案

j证明：FTxonjXIe

证明：

序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部(包括j)。

题干 证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)

则：Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）

答案

证明：

令k=n－m，则:

题干

答案

设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则x(0)limX(z)

z证明：

因此：limX(z)x(0)

z题干 设 w(n)=x(n)*y(n)

X(z)=ZT［x(n)］ Rx－<|z|

证明：

W(z) 的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。

题干 设m(n)=ax(n)+by(n) a, b为常数 X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|

则:M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z) Rm-<|z|

Rm+=min［Rx+, Ry+］;Rm-=max［Rx-, Ry-］

答案

证明：

Rm-<|z|

Rm+=min［Rx+, Ry+］;Rm-=max［Rx-, Ry-］

题干

答案

证明：FT的周期性。即证明FT的周期是2。

证明：

X(ej(2πM))x(n)enj(2πM)nx(n)enjnX(e) Ｍ为整数

j题干 证明线性卷积服从交换律。 即证明下面等式成立：

x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

答案

证明：因为

令m′=n－m,则

题干 证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：

x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

答案

证明：x(n)[h1(n)h2(n)]mx(m)[h(nm)h(nm)]12mx(m)h(nm)x(m)h(nm)

12mx(n)h1(n)x(n)h2(n)