2024年2月6日发(作者：步步高i536手机)

物理大地测量学思考题（附参考答案）第三章 地球重力场1.离心力位是否满足Laplace方程？¶2F¶2F¶2F1222离心力位F=wx+y，显然DF=2+2+2=2w2¹0，不满足¶x¶y¶z2()Laplace方程。2.定义正常重力场时做了什么假设？需要用到哪些参数？假设：（1）地球椭球为旋转椭球体，即赤道是正圆形；（2）地球质心与参考椭球中心（坐标原点）重合；（3）坐标轴与地球主惯性轴重合。参数：a,f,w,GM。其它参数均可以由这4个基本参数计算得到，如：Eb=(1-f)a，E=a2-b2（线性偏心率），e=（第一偏心率），aE=a2-b2（第二偏心率），……3.重力等位面上的重力值是否处处相等？为什么？如果处处相等，等位面的形状如何？如果重力有变化，等位面的形状又是如何变化？dH=-dW，式中dW为两个无限接近的等位面之间的位差，dH为这两个水准g面之间的距离。若重力等位面上的重力值处处相等，则可推得dH为定值，即这两个等位面之间的距离处处相等，也就是这两个等位面平行。而这与实际的“重力等位面不平行”的性质相矛盾，故而，重力等位面上的重力值并非处处相等。

由以上分析可知，如重力等位面上的重力值处处相等，则等位面之间应互相平行。如果重力等位面上的重力值有变化，则不平行。4.地球引力位的球函数展开式中零阶项、一阶项和二阶项的物理意义是什么？地球引力位的球谐展开式：V=åGrr¢nPn(cosy)dun+1òòòn=0ru¥式中，r’为地球质心至质量元之间的距离。零阶项：V0=GGMrP(cosy)du=，这是和地球质量有关的量。0ròòòruGrr¢P1(cosy)dur2òòòu一阶项：V1==cosJsinJcoslsinJsinlGrrcosJdu+GrrsinJcosldu+Gòòòrr¢sinJ¢sinl¢du¢¢¢¢¢222òòòòòòrrruuu=cosJsinJcoslsinJsinlA+A+B11，111r2r2r2式中，A1=GMzc, A11=GMxc, B11=GMyc，(xc,yc,zc)为地球质心坐标。A1，A11和B11是与一阶矩有关的量。若将坐标原点选在地球质心上，则有xc=yc=zc=0，即V1=0。二阶项：V2=G2rrP2(cosy)du¢3òòòru=1321[A(cosJ-)+A21(3sinJcosJcosl)+B21(3sinJcosJsinl)+A22(3sin2Jcos2l)23r22+B22(3sin2Jsin2l)]

ìGGA+Bï222222A=(y+z)rdu+(x+z)rdu-G(x+y)rdu=G(-C)2òòòòòòï2òòò22uuuïïA21=Gyzrdu=GFòòòïuïï式中，íB21=Gòòòxzrdu=GEuïïGG22ïA22=òòò(x-y)rdu=(B-A)4u4ïïGGDïB22=òòòxyrdu=2u2ïî若将坐标轴选在地球的主惯性轴A2，A21，B21，A22和B22都是与二阶矩有关的量。上，则D=E=F=0，即A21=B21=B22=0。若地球为旋转体，即赤道是正圆形，则A=B，即A22=0。5.将地球近似看成半径为6370km的均匀球体，若极地处重力值为9.8m/s2，试估算地球的总质量为多少？极地处没有离心力，其重力值即为引力值，即g=GM，将a2a=6370000m，ϒ=9.8m/s2及引力常数G＝6.67×10-14m3g-1s-2代入，可得：M＝5.961823×1027g。6.若已知半径为R的地球，内部的密度分布（近似）为d=15-13，并以匀速旋转，求地球内、外某点的重力、重力位的二阶导数，分析其特点。并画出重力变化图形。（1）对地球外部距离球心为r(r>R)的点Pe，有Ve=GM，而r13röæM=òòòddu=ò0Rd×4pr2dr=ò0R4pr2ç15-dr=7pR3，÷uèRøGM7pR3GdVe7pR3G则Ve=，ge=，负号表示重力矢量ge方向与矢径r==-2rrdrr

的方向相反。d2Ve14pR3G重力位的二阶导数2=。drr3（2）对地球内部距离球心为r(r

8. 如果两个正常重力等位面在赤道上相距1m，利用公式g=-极点处的距离。 方法一（利用题干给出的公式）：dU计算它们在dh 对于赤道和极点处的各个量分别用脚标e与i表示，而外层等位面的各量均加撇号’，则从内层正常重力等位面到外层正常重力等位面：dUe=-ge¢dhedUp=-g¢dhppGMGMge¢2¢¢¢g=g=-wR<1，其中ee，p 又由于dUe=dUp，dhe=1，则dhp=。22¢¢R

¢R

gppe 方法二（未利用题干给出的公式，而是直接从初始定义入手）：假设内层正常重力等位面的赤道半径为Re，极半径为Rp，则其在赤道上的引力位为Ve=GM1，离心力位为Fe=w2Re2，故赤道上的正常重力位为Re2GM122+wRe。由于极点处没有离心力，故极点处的正常重力Re2Ue=Ve+Fe=位就是极点处的引力位Up=Vp=GM。因为是等位面，故有Ue=Up，由此Rp可得Rp=2GMRe2GM+w2Re3记外层正常重力等位面的赤道半径和极半径分别为R’e和R’p，其中Re¢=Re+1，则有：¢=Rp2GMRe¢2GM+wRe¢

32=2GM(Re+1)2GM+w2(Re+1)3

则这两个正常重力等位面的极半径之差为：¢-Rp=D=Rp2GM(Re+1)2GM+w2(Re+1)3-2GMRe2GM+w2Re3