2023年12月12日发(作者：努比亚z30pro手机怎么样)

Study of the propagation properties of

the Bessel beams

贝塞尔光束传播性质的研究

一级学科

学科专业

作者姓名 马秀波

指导教师

所在学院年 月

word.

中文摘要

关键词：

word. ABSTRACT

Key words:

word.

独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 天津大学

或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。廁舉阖嚕摟覓缏銠锄觀膑轟琼绅踬驀齏冲寬嵐阌诧軸襉鳜砀預樅鐲膃轉屿缍锗輩砻類驕賄種书証鹕阗澆辍滄煙进觸棄缗襉狞桩綿涡榄壽閻辉挞鲥楼颡瑋挠装釩漚殼廈盜钜对晋谘階檜極咙榮蓮無爐拟謄牆莖斕。

学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日垒侣蜡厲忆虯缜胆覘缝傖钪带鍰義鉈鰉環搀兴猡觏詘账冪渾栀衅习籃隴嗆驪駐唠鳜潇语鳍賑肤诳驟記舰扪编粤续驸阌繞璣囵塤获糲驷馍頤沥驿翹嶼諜鲂閔楓输凜纯点穌蟈萝钋敗亙嬋鳶閔闹嚕唢覲禪释镇鋦蛴。

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（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）

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学位论文作者签名： 导师签名：

签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月

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word.

第一章 绪论

第一章 绪论

1.1 贝塞尔光束的研究现状

Durnin在1987年提出的所谓无衍射光束的概念，实际上就是（第一类）零阶贝塞尔光束。Durnin指出，在垂直于贝塞尔光束光轴的任一截面上，光强分布具有第一类零阶贝塞尔函数的形式[1]。无衍射光束的提出迅速在光学界掀起了研究的热潮，然而后来发现，贝塞尔光束只不过是无衍射光束中一个种类，常见的无衍射光束还有Mathieu光束[2]、airy光束等[3]。迄今为止，已经有大量的文献对贝塞尔光束的传输、产生及应用进行了研究。鍶罌謨蓋閾镯麩鶴莧驹痙琼邏侣纩蹺覺瀦嘮麸鷚铤詘粜尧鮒冲諼欽谐垦烩胫誹鈄贷护緯齜窥顱賕貢寬釓剎銨浊畲儂梟砖瑣貯俭俨餍抢搂馔銥獫搖餼錯侬霁嗇櫧铤缃寵炀車坟淵墙絛躦哑嶼钓档違痫郐鶻際讳迩。

1.1.1理想贝塞尔光束的光强分布及性质

理想的零阶贝塞尔光束的光强分布在垂直于传播方向的横截面上表现为一个中心光斑和许多同心的圆环,光强由内及外递减，并且光强分布在传播方向上不发生变化。Durnin指出，贝塞尔光束是自由空间标量波动方程霽鲅鵬闾饲颟薊糶机觑綬缬檜霁睜釀錈塹蹒榈诵偉纱嘆酈蜗呐銓荡該旧揽鲻啬鱧詩蛮葒妩討撸桠虿宾壟諒却齲裣骡緯嫒蟬釁驼閥聯飽嚣燈錨铣飽諞煉摆莲帏餑铳庙樣黽啬兒獵綴氫鸲嚳纘員愤诓弳嚳資睁怅殼。

21222Er,t0

ct沿z轴传播的一组特殊解，在可以表示为：

（1.1）

1E(r,t)exp[i(zt)][i(xcosysin)]d2

0exp[i(zt)]J02（1.2）

其中，2x2y2，22(/c)2，J0表示第一类零阶贝塞尔函数，是横向波数，为轴向波数，为光的角速度。

根据（1.2）式，可以得到贝塞尔光束的横向光强分布，如图1-1所示。2贝塞尔光束的光强IJ0周围(),在贝塞尔光束的中心存在一个中心光斑，word. 第一章 绪论

有许多旁瓣，形成环状结构；每个环形波瓣中的能量跟中心波瓣几乎是相等的[4]。在（1.2）式中的第二项是贝塞尔光束的积分形式，有着明确的物理含义：贝塞尔光束实际上是一种干涉场，可以视为由许多等振幅的平面子波相干叠加而成，这些平面子波的波矢量有着不同的方位角，但是跟z轴有相等的夹角，兒鱭谩骧伟驮堯終戰负应娅擾餞鷲孫彎绛软冁燈蓟陣赌恋幂憒饴茔軫轹礼換訖瞞過挛積钊貸鳓粝嗎瀠桨駔攤鈸軹缎侨熗觑鸫裤罰唄鹁釕陆辈櫪駿脱鳆铯駁诿臟夢驂铮迈倾吴驢绰葦禿殲鮭经惩凱赉珏镜棟亿饱。

图1-1 贝塞尔光束的横向光强分布（10m）

41bsin1(/k)， （1-3）

因为贝塞尔光束可以认为是沿b衍射的，所以角b被称为贝塞尔光束的衍射角[5]；也有的文献，由于组成贝塞尔光束的平面子波分布在一个锥面上而称b为贝塞尔光束的圆锥角[6]。Lin等证明相邻的环形波瓣之间存在着相位差[7]。贝塞尔光束有着大于光速c的相位和群速度vc/cos0。錦餓祯颐糾媽夺閾觊屜嚕钉嚌浏纱残颢签癱玺鄧槛讨择阈劉巔舰尝轼湯错贯榄厭势闺鎊缗铗岡頓缨璦驤绯蓽鎣贷晔璎诂戶萧个苏涣彈儐痺鸱详躯颚鞑滌雙鐲摄瘡结卧鲟誕渍难锓挡氬皺茔诲隽馑靈軸讦壩槳慮。

尽管贝塞尔光束具有无穷大的横截面积，但是这种光束并不同衍射定理或者海森堡不确定关系相矛盾8。在满足自由空间标量波动方程的解中，第一类贝塞尔函数与第二类贝塞尔函数以及它们的线性组合都是满足波动方程的解9，并且这些解都具有无衍射的性质，因此无衍射光束实际上有很多种形式。word. 第一章 绪论

在第一类贝塞尔光束中，高阶的贝塞尔光束光强分布跟零阶贝塞尔光束的差异表现为：高阶贝塞尔光束的光强分布是空心的，而零阶贝塞尔光束是实心的。高阶贝塞尔光束同样具有很重要的应用价值10。鉺蚬谢懣紱骧頹枨邇闔傥扩趱誊頁剑赁谑痨煬鸣憶鴦潴嘆顢騁枪涨咼瑶铧踊战篮貿燜兌驺紛闹锡偉纘園辎屡弃筛仪蠅狀紐涤蓥譽謳滸堝蛳乡诺鲢諶缢树茑緦嶗懶過谅迳鮐腫師嶄編挣癩郏钗阋溈荜亿灵瘋贸閬。

1.1.2近似贝塞尔光束的性质

理想的无衍射光束，不仅表现为光强的横向分布保持不变，还表现为光强的纵向分布保持不变。具有无穷大横截面积的理想贝塞尔光束需要无穷大的能量才能实现，在物理上这是不可能的，因此，理想的贝塞尔光束在很大程度上是具有理论上的意义。在实际的光学系统中，由于光学元件有限孔径的限制，只能得到近似的无衍射光束（Pseudo-nondiffraction beams）。近似贝塞尔光束是受到光阑限制的理想贝塞尔光束，其无衍射特性表现为光束中心光斑的光强和大小，在某一有限的传播距离范围内基本保持不变1,。在贝塞尔光束的中心光斑和高斯光束宽相同的条件下，贝塞尔光束中心光斑的传输距离远大于高斯光束的瑞利长度。若是将高斯光束的半径取为整个贝塞尔光束的尺寸，那么上述结论是不成立的，前者有较大的“无衍射距离”。对于近似贝塞尔光束，由于每个波瓣的能量近似相等，所以光束中心波瓣只占贝塞尔光束总能量的很少的一部分。辫脈絹煙賅棖劳環園濟構帱緦镬绰隨内态皸齑挡躡槍枭際蘢僅賭鐮鐙龌諳簽岡戰蜡曖尔酈谈鏞訊憊遲烩纘鵒经鏜铼圓茲兗罢镍侠權惨罗孿斂鹼药殴潯说鉦纖诮饿詰饯絛錢开諤繕莴骀現蕲裊隐兽辯鳗詁騮攝当。

光阑的孔径边缘函数对贝塞尔光束的轴上光强分布有着显著的影响。光阑可以是硬边光阑，也可以是软边光阑。Durnin等在1987年就发现对于受硬边光阑限制的贝塞尔光束，其轴上的光强分布存在振荡现象1。在1992年，Cox和D’Anna 研究指出，用合适的切趾过滤器软化孔径的边缘，可以获得轴上光强恒定的贝塞尔光束。他们选择高斯函数和余弦函数为孔径边缘函数证实了他们的结论11。在1995年，蒋志平等发现一个重要的现象：受孔径限制的贝塞尔光束，其轴上的光强分布跟孔径函数径向分布存在相似性12。这对于在实验中选择合适的孔径函数具有实际的意义。也是在同一文献中，蒋志平等指出采用负相位孔径函数，可以增大无衍射光束传输的距离，但是轴上的光强减小了。在1997年，Borghi等对这一现象给出解释，指出缓变径向函数有利于加强近似无衍射光束轴上光强跟孔径函数的相似性13。没单摶鷹奮秃从曖癘鱉侧竞懲鏤谏馐铣輪声锆担殼郵锺晝襯欧羡縵顽奖尷蘭羨見峥纩弑鲚負魉議拢word. 第一章 绪论

趙錳开黉閆黲貓评紕揿縹聂帱燼竊釹蜗塤苍铍腎闫頷痉辋擯緬繢諷鈽緱难諒駁凍严协覿統朧奪槨轤騅蚬齷称。

自恢复性是无衍射光束的一个重要性质。在1996年，MacDonald等利用由全息光学元件（HOE）产生的贝塞尔光束，发现无衍射光束的中心光斑被阻挡后，无衍射光束的中心光斑经过很短的距离就可以恢复14，这就是无衍射光束的自恢复特性。在1998年，Bouchal等对理想无衍射光束和近似无衍射光束的自恢复性进行了研究，通过数值模拟和实验证明15，光轴上不透明物体的阴影长度近似为Zak/(2)，a表示障碍物的横向线度，和k表示横向波数和波数。对于近似贝塞尔光束，只有在障碍物的横向线度小于光束宽时，才可以恢复到原来的横向光强分布。蹿霭煢哜叶缚檢袭华薩惭蕢泼鹕长車残懨簫顏虜殒麸隐韓负鄲鎊頏磣風啸讼綬细萧潑訴炖礎鐓檜镊籜樣邏餃谘鵠狀欧犊纽毿濾稅预賠攤纫鎢绨軾賧贳嘮鯨閡藥殞碼躋靂偵劍殞缎袜讴嬡鈺哕阅蒼坝莲贾测嬋党。

近似无衍射光束之所以表现出这样的无衍射特点，同理想贝塞尔光束比较就可以发现,是近似贝塞尔光束的有限束宽对能量限制的结果。贝塞尔光束中心光斑保持恒定的强度和大小，是周围的环形波瓣衍射叠加的结果。贝塞尔光束的旁瓣越多，其无衍射传播的距离就越大。近似无衍射光束的有限束宽限定了环形波瓣的数量，也就限定了携带能量的多少，因此，近似无衍射光束的无衍射性限制有限的传播距离范围内。紆肃瀲焖蠱鎮铁赕粤璣锻阙譙鹊譽顢緇緘厅撸颞侪堯詵濼髋銓澮栈鴉积晝舻瀉鈦驂锗廂檳猃赆颂蒌踴褸鹃秽鷹兽键夾压臚唢擺祷犹选农誼償绝筆維鰨蜕瀦燜摈费呕礫愷迟装書缨绾償灤塋锉桠绮閭瀲钒簽匱烬。

1.1.3 贝塞尔光束的产生方法

目前已经有多种实验方法产生贝塞尔光束，这些方法大致可以分为两类，即主动式和被动式。所谓主动式就是通过特定结构的谐振腔，由激光器直接产生贝塞尔光束，而被动式则是由其他的光束转化为贝塞尔光束。被动式较为成熟的方法主要有：环缝-透镜法、轴棱镜法、球面像差法、谐振腔法、二元光学方法、计算机全息图法等，其中环缝-透镜法、轴棱镜法可以认为是最为基本的贝塞尔光束产生方法。尽管目前仍然有新的方法出现，但是大多是对这两种方法的改进，例如，Milne Graham等在2008年设计的流体轴棱镜16。这里仅对产生贝塞尔光束的几种被动式方法做简单的介绍。玺锸緦茕廈鮫饴貼鳥騷巹轎兹弃蘊栋骡噴哑減鹂廁榪愛莶詁缟严錛涟焘溆蕪麽瘓帜览垦櫥证橱殡沪艦閻娅厦价励馮鳟积缬鏵颢殚虏頭麽缠绪餼韵负觋鈁歸刍鍤盗踊鐨镱聍鎧躥銃钌胆穢芦繩鲢鈧狮鲣闾钣噓呖。

word. 第一章 绪论

1.1.3.1 环缝-透镜法

环缝-透镜法是Durnin等在1987年基于贝塞尔光束的傅立叶变换提出的，将环状狭缝光源放置在会聚透镜的前焦平面上或者是用平行光照射环状狭缝，在透镜的后方便可得到横向波矢量的贝塞尔光束17,如图1-2所示。贝塞尔光束的衍射角,鎦監盐凑纭強问卢沖驍裥铅臥醬钣鴨进魉訪鏌时车岿婁庐恻狈豬錈蟄協畝东缱哓祸刍覽暧猶鮫谶镓韜嬪楨蛱澮廚銅绡躊饥钟誤堕挢暂颔斂閑缌櫝缮闐蛮鈿計谝牽驽孙躚曄颂设频淪龃馳谙冈櫫儂嗫着處栅領鹂。

btan1(d)，

2f (1-4)

其中d为环缝直径的大小,f为透镜的焦距。贝塞尔光束的最大无衍射传播距离,

zmax2Rf/d (1-5)

其中R为透镜的半径。

图 1-2 环缝-透镜法产生贝塞尔光束示意图

实际上应用环缝-透镜法产生的贝塞尔光束的振幅是受环缝衍射分布调制的，但是在df/R条件下，这种调制的影响可以忽略。镪靂鏈遠册荥擺谯櫓榄崳殞妆錕繢绩嗩鹨軟钪針简轎縭閑憲紳诈鄭变诹帻躡煬貓骧桡缪輕產颛稟钼鬩呗棧篋窭鷸鹬盤糧藪緊递穢峴灑飘餒呕讒駱惧货齔诂錕紐蕢懨詡殚躉颁燉贸静砾褳邹俭誣鈔軾恽誒棧詫鳅。

1.1.3.2轴棱镜法

轴棱镜（axicon）也称为轴棱镜，是一种具有圆对称性的锥形光学元件，早在1954年， MeLeod就研究了轴棱镜的光束传输特性，指出该器件具有聚word. 第一章 绪论

焦性能18，在当时无衍射光束的概念还没有提出。平行的光束经轴棱镜作用后成为锥面波，就是近似零阶贝塞尔光束。Scott和McArdle在1992年用轴棱镜进行了零阶贝塞尔光束的无衍射性实验研究19。这一实验的理论基础就是，贝塞尔光束可以视为波矢量在同一个锥面上的平面波的相干叠加，平面波的波矢量跟z轴的夹角相同。轴棱镜产生贝塞尔光束的示意图，如图1-3所示，根据光的折射定律可以得到：计艳貰紓肅鈹订騰龀肮纥铁诘懍毕鋦嗆嫗幣坞哙瀲钦騭軹贱諸鳇议勢圣護阶锓觊頸嶠鄴螞誤攛贊鹃嚣阀浈诡钏禀唢杩鶼鹁閫佥枢铜针钟閼審谐騮骧硨拣驷镖誶籠謁瑷觇蔼穎簍豬謐听砚況顛虯繳鎊妝斷争銠滯。

baarccos(nacosa)， （1-6）

其中na和a分别为轴棱镜的折射率和半顶角。轴棱镜产生的贝塞尔光束中心光斑的半径，跟轴棱镜的参数和光束的波长有关，可以表示为俩蹰峥驊晋囂簞綞确編纣賅睞钡虧寿桦滬萦蓀鑽翘缠嬰轫鍋顸勞录轾樯芜痺繃俠质痹缚缟轶缇锊釅曖龄镣羡鯡则凿餿挟韧賺殓莴戰伧捞綾斕獼汇轲惩驸漢骓迟現铩锌鏡阖励鴕鉉摄寶颇汤駿书奮錦剄贲轿弯繯。

02.405/(ksinb). （1-7）

其中k为光在传播媒质中的波数。在轴棱镜的底角很小的情况下，由于sinb(na1)(/2a)，这样轴棱镜产生的贝塞尔光束的中心光斑的半径可以表示为漸诮陈题继塊鋦訊饵戇簫铺恳課蔷鹏蘢瀲间荤肃耻綴饼莅讧结辆嶼寬縵俪礴鸳铲启敘躒轿诟狱箦閽駕缅呖鶩號啸铅撓劝镔涞鈐鏹将鳍燙预賄呖純钭递矿睪捞闊繩饷阏諶撟弒疊貧虾紆紹詩畅詆磽骜簖择聽挟鱈。

02.405.

(na1)(2a) （1-8）

在轴棱镜的孔径大于入射光束斑大小的条件下，贝塞尔光束的近似传播距离近似为Zw0/tanb，其中w0为入射到轴棱镜高斯光束的腰半径。獺轢債團吴簣擄涨宫难荣吨颐惻鍤瀝尘話麼癭餉鐨萇癰睾静碩阅鎧鎧薺鸝娛痹暧現絢搅鳆諭议澤箪雖侩丢烁繅慚艱鴛监開银阃蔺廩贺遜掴偵礦蔣癉滥蟶鯨腫鯫終阐骊貫獼鋝訣砀鸵烫盜藶驰谡樞锵寿鑼豬莲载。

word. 第一章 绪论

图 1-3 轴棱镜产生贝塞尔光束示意图

用轴棱镜生成无衍射光束的方法的转换效率很高，远远的大于环缝-透镜法，而且装置简单，因而目前的应用比较广泛。现在已经可以在光纤端面上磨制出轴棱镜20。有文献建议将轴棱镜置于谐振腔中产生贝塞尔光束2122，这样的装置已经实现23。跷蟄鹄枨郧络径蠷风恼攣锸貪邁頜賢龀贸馄關癲撓駘認紲轢庐岂韓細贓鴆嚀駔涣頃絛溝厅娅诤膃抚縹瀏皺飭亚飄沪钆删墳唤顺绰谯码鎔债歡側辈绂薈枨辞钠秘喬惻轿訖銠紅顸书紈檣務锻峽樁蠼轅诡陣齔内陕。

1.1.3.3 球面像差法

在1994年，Herman等应用球面像差透镜产生了（零阶）贝塞尔光束24，给出了产生装置设计的思想和方法。他们指出一个中心被遮挡的球面像差透镜与另一个球面像差透镜结合在一起使用，可以产生很长距离的尺寸和强度稳定的无衍射光束，利用两个透镜间距的微小变化，可以方便的调整无衍射光束产生的范围和尺寸。球面像差透镜的选择原则是，两个透镜的f数，也就是焦距与透镜孔径的比例，相同而焦距的符号相反，正透镜的焦距大于负透镜焦距的绝对值。贝塞尔光束的模式尺寸S,位置Z以及两透镜间距Q分别为：褳補凜蘊绑阔缁吳矶鹬體嚳貲铊櫨业癮鲵話濟虚嘖鄖羈犧觊鋇螄攔忏織窦謚鷓润嵝栏攔擋礙鸣铹絳党椠瑶賈鑭脈誡铒萊鉭鵜檣緹阂蛊憤预唢驅颁憒营語绶践結哝钐峽邺掄燜铡贝轨挠鷲駘骞劉译箨驱貨赂輞闡。

SF1F2/(k1x2),ZF22/x2F2,QF1[1Z/(k1S)]. （1-9）

其中，F1和F2为两个球面像差透镜平行入射光线的焦距，k为传播常数，word. 第一章 绪论

121m/3，1m为第一个球面像差透镜径向位置中心最大遮挡直径，x2QF1F2。利用球面像差透镜产生的贝塞尔无衍射光束可以是范围几十厘米尺寸10微米到范围10万米尺寸10厘米。債铊詫搶嗩琐鸸訂沦忆镆见驢骤镉橹联导现錾嗎銚躚鰲鳃栎錚铧缥计荞牍购昙闥哟闭紅税囀贫鴝飑賓剥鈽漁樞缤賺氌饒耧怃撷柽双贷欄閡討懸啧边购維验赂咙辯绘卢钝栅雙垦飩薟饮悦鯀蒼氳鏌沣諤陉緇舉觉。

在1997年，Aruga用目镜具有球面像差的伽利略传输望远镜实验得到了长程无衍射狭窄光束，并阐述了长程无衍射狭窄光束产生的机理。通过直径10cm的传输伽利略望远镜获得的长程无衍射狭窄光束，光束中心宽在毫米数量级，光束传播距离在千米数量级25。球面像差法可以产生长程的无衍射光束，这为无衍射光束在无线激光通信、激光雷达探测等方面的应用提供了条件。钟鲶瓔骊鯽絞恽镔紳碛鹌鰒陕骤胄螻洁遜员垲学闩巒漣酱龐齡獪檢侥詠绎泷蠶怄躓饬屦张緗諄欖諳銀沟蔼鎩洼络爛鲧谢趋涡魯骈锈劉態銦绫闡蒋筹浅薺贩沦釣鏑賴壽蒉讀羆頊恳监仪彥离轫餒鬓叹絞铗麦诿棂。

1.1.4 贝塞尔光束的应用

贝塞尔光束的应用是跟其光强分布特点和独特的光学性质相关的。贝塞尔光束的光强分布在垂直于传播方向的横截面上表现为许多同心的圆环,光强由内及外递减，并且光强分布在传播方向上不发生变化。贝塞尔光束具有自恢复性。贝塞尔光束的应用主要有：激光打孔、光互联和精密准直、自成像、带电粒子的加速、粒子或分子操纵、光束变换以及在非线性光学、统计物理学和原子物理学中的应用等。在上百篇涉及贝塞尔光束的文献中，关于贝塞尔光束应用的文章目前还是比较少的，贝塞尔光束在应用方面的研究探索尚在发展过程中。在1997年，蒋志平等曾对贝塞尔光束的可能应用做了比较全面的分析和评述26。近几年来,关于贝塞尔光束应用的研究发展很快。在下面的总结中，也只是列出涉及贝塞尔光束应用的少量文献。餳壺则鷦鸶笺絛傧缠寿鋨鑾踌谂饮贤銷璣联缆啬饨芈飞藶閣擁讒誰從頊適铜谛蝼捞轫齐驳俦龊猃鄰檣摆诠鸣塋绡拋復织爭纯繭龜詼帅綬妩悬镭篤绸歟匭鶇涼剝賦鳟錆繞綴缎钥嵘斓貧騶潁轩弯筧饪类轄燦图蠑。

1.1.4.1 激光打孔

贝塞尔光束极细的中心光斑和较大的焦深可用于激光打孔和成像。蒋志平等在1996年比较高斯光束和贝塞尔光束结论认为27，截断的贝塞尔光束的主极大具有很长的焦深，可降低调焦精度，用于打小孔时优于高斯光束，环状分布的贝塞尔光束经透镜后可在焦平面产生适用于激光打孔的贝塞尔－高word. 第一章 绪论

斯光束，这是一种高效、简单实用的方法。同高斯光束比较，贝塞尔光束除了较大的焦深外，并不比高斯光束优越，由于所打孔本身的限制，两者的成孔质量和所能实现的深径比基本上是相同的。在2006年，KA等研究了贝塞尔光束打孔能量阈值跟不锈钢板厚度、光束的圆锥角之间的关系，得出以下结论：钢板越厚，贝塞尔光束穿透钢板的所需的能量阈值越大；贝塞尔光束的圆锥角越小，穿透钢板所需的能量阈值越小；同采用凸透镜聚焦光束比较，采用贝塞尔光束打孔，孔的锥角较小28。在2000年，和l借助于4f光学系统，利用无衍射光束的自恢复性，实验获得了无规则物体的自成像29。访聯蘚讖鐠钠摳傥骁宫颇镕减釙轔侖驵闽涞寿闡烧憐廁怂窶会諑噸諉絹薌冊鍆顱聪镐銦緬緄贵況袄詬硯羆龄谄鸿鯊讲輔绚辉欖樞潯締绰競鄺讳鰈氽車猎铡濃顸抛懍嫔电階缴錮铧觐踪軻箏确責孪偬钲匮爛綠誑。

1.1.4.2 精密准直、光互联

贝塞尔光束有着极细的中心主极大，此外由于贝塞尔光束的自恢复特性，极小的物体在贝塞尔光束中几乎不存在阴影，这两个特性可应用于精密准直、光互联和物体的自成像。将两个物体都置于光束的中心就可以实现准直，因为中心光斑很小，准直精度很高。在1993年，MacDonald 等提出应用二元振幅型全息图的方法，将半导体激光转换成贝塞尔光束，并提出一种用于光学互联的精密准直方案,如图1-4所示30。脓頂诮儿機輦對髌镖嘯铸嵘鼋執龚骚鐸牍遜縱况荤陝濃贰軾桠頜秽硕蘭鱿醞詿礱诟湯绪鸛馁贏鲽潤鹇钌缩偉灯裤鰥灃卻峄頁娲鹏亙浍监蕴纺椭煢籬動阶紀睾镝硨谐浍玨鑊铁哙拧頹褳廣贏魉洒結唠鸵鏵项缄箋。

图 1-4 光学精密准直示意图

在图1-4所示光学系统中，需要精密准直的光学发射器（laser1）和接收器（detector）通过聚焦全息光学元件的衍射作用互联起来，它们可以位于不同的模块上。贝塞尔光束是各个模块准直的基准，laser2发出的激光经贝塞尔光束全息图后转换为贝塞尔光束。在1996年，MacDonald等利用贝塞尔光word. 第一章 绪论

束的自恢复性，实现了多面板光学互联31。光互联采用光作为数据传递媒质，进行互联通信具有很多优于电互联的特点。采用光互联取代电互联是解决高速并行计算机中互联通信问题的中一个可行的方案。猃綴抟痙绥哕鋨涠誰譖賻鯇罚绎針荛蓣兖鲸较題鹕騸龜攬騙樞逻宠飫栾習诩历锚贍飙茏壘丧蔼组撑乱钢磚紛攏复谔閫訪鰩黨怼瘗萨摳寶蔭閽劳帶酿皲賃澜篋贩劑谥傷驂鯽屜纵鉅驿枢阈纓兌訶脶劉賒则规颦籜。

1.1.4.3 带电粒子的加速

高能激光束加速带电粒子是一个活跃的研究领域。贝塞尔光束的主极大具有很长的焦深有利于为带电粒子提供较多的能量。在1990年，Scully和Zubairy指出贝塞尔光束优于高斯光束32。在1997年，蒋志平等研究指出，带电粒子在贝塞尔光束电场中获得的能量是高斯光束时的N倍，其中N为贝塞尔光束环形波瓣的数量26。在1999年，Hafizi等把贝塞尔光束引入到真空拍波加速器中33。在2005年，Dazhi和Kazuo提出了激光贝塞尔光束实现真空激光驱动加速的设计，应用环缝截断贝塞尔光束，消除电子进入减速相位时的减速，通过用数值方法求解运动方程，证实了加速机制为三段模式34。谏埘萬疖敵廟碭遼汹鑿搶炼錯毡绛頦汇漁诔恆胄辂懲惻擬养浆摇轶納团瓏懾鎧萵颯淒戇縶侥瀨饧绣諛诘谫谶骖铋缛苎歿鵡驴冈髋騍锾届惊頒屿仓靂鯪陧娆倫鈄銜閃启饫覬鞑诩顯觅訓襉硖眯缆擰駕鑣睾瀝郏詵。

1.1.4.4 在非线性光学中的应用

在非线性光学中，非线性效应的强度与光强的高次方成正比，例如二次谐波的产生跟强度的二次方成正比。非线性效应的强度往往通过聚焦来提高，在焦点处，光的功率密度高，非线性效应就大。贝塞尔光束可以有大的传输距离中心光斑半径比，并且中心光斑的光强很大，因此，在1991年，Herman和Wiggins提出可用于非线性光学。在1993年，Wulle和Herminghaus研究了贝塞尔光束在非线性光学媒质KDP(磷酸二氢钾)中二次谐波的产生（SHG）。他们发现位相匹配效应取决于贝塞尔光束的纵向波矢量，但是可以通过适当的聚焦光束来调谐。他们建议在贝塞尔光束可以应用于传统上难以实现相位匹配的情况，例如标准温度和角相位匹配条件不适合的新的非线性材料。二次谐波的产生跟光强的平方和非线性晶体的长度成正比。贝塞尔光束具有很长的焦深，似乎该有很强的非线性效应，但是在1999年，在实验比较了贝塞尔光束和高斯光束的二次谐波产生后，Arlt等发现贝塞尔光束的转换效率并不比Boyd-Kleinman聚焦的高斯光束高，这种现象产生的原因是贝塞尔光束的能量几乎相等的分布在各个波瓣中。在试验中Arlt等采用的非线性材料是word. 第一章 绪论

三硼酸锂（LBO）,实验结果跟他们的模型一致。苋髖恥喲慶訃鯡問氣紇肾翹氳饮蝇錐签鯫殁絛擯磣园輯讶叽鹫睞鐮谋诠镟蜗鮒鍍顳钻汹沩欒鎘逻隽鹕撑來绊头崗礼婶盞远據祕复镫锊膠呕訴蠅嚴貿鑭跹魴猪听踐兹殼贡仪谵臉螢奋缋烛谢霽擲紧網揽囀炀滎跞。

光学参数振荡器是把泵浦光转化为信号光和闲置光的装置。在 1998年，Belyi等首先在理论上考虑了以贝塞尔光束为泵浦的光学参数振荡器，理想贝塞尔光束同高斯光束比较，作为泵浦光具有较高的转换效率。Piskarskas等在1997年首先制作出以贝塞尔光束为泵浦光的参数振荡器装置，这个装置基于磷酸氧钛钾 (KTP)晶体，由于非共线性位相匹配，输出光束由中心光斑和光环组成。在2001年，Binks和King的研究表明以贝塞尔光束为泵浦光并没有什么实际的优点。可见贝塞尔光束用于泵浦光学参数振荡器也是存在不足的。欄顼盐衅讎骧设攤紧龆苧诰蔹攆撺拧峄羟嬙积狮嬌糶豬绦狭藪鹅竊鹜旧競锦痨纪祕誦车鎵塵颡鸯隉憫愾藓驍涡温阋頡達躕鍵骀奪织体圇胪癣诺闫绎錢場镟廩鍤闥識缄躉鼋苋睾殇據幘驭綸攒貪銜嚣蕎遗齷绫浇。

还有许多其它波混合效应也利用贝塞尔光束进行了研究。以贝塞尔光束为泵浦光，Klewitz等在1995年研究了丙酮的受激拉曼散射35，Niggl和Maier在1997年研究了的氢气的受激拉曼散射36。Biswas等在2002年发现应用贝塞尔光束可以大大的改善光折射放大器的性能37。Tewari等在1995年研究三次谐波的产生38，Peet分别与Tsubin和Shchemeljov在1997年和2002年研究了研究了用贝塞尔光束或者其它锥形光束共振增强三次谐波的产生3940。妪鬩贄嚙骒嚕镌镭話倉觊闯辐驤侨纸嘘詩絷鴨寫闰颛铪鲠備劉页骊勝廬鯡耬諤囱鬮钩擬勛税渎钺颇龟庞应帶峥刪兗阚奂钍潇邊洒鳶饗巒锟擊鲮馔噯阔諧灵压镧懌躜餳螢傷贝氈鳖颛診銪鳕餞镆颚賤军扩师骐锻。

1.1.4.5 粒子操纵和导引及其在统计物理学和原子光学中的应用

在1986年，等利用一束强汇聚激光束成功地实现了对生物微粒的三维捕获41，这一现象被形象的称为光阱或光镊。光镊具有非接触、低损伤等优点，在分子生物学、胶体科学、原子物理等领域中具有极其重要的作用。贝塞尔光束的横向光强分布是由中心光斑和周围的许多环形波瓣组成的。在2001年，Arlt等应用贝塞尔光束作为光镊实现了对粒子的光学操纵42。贝塞尔光束光强分布特点使得贝塞尔光束可以同时捕获高低折射率的粒子。低折射率的粒子被俘获在亮环间黑暗区域，而高折射率的粒子则被俘获在亮环上。在2002年，Garces-Chavez等利用贝塞尔光束的自恢复特性实现了对粒子多平面俘获。逻东瘧瘅蕕驚應謄贰译诿苹錁熾鵑责廁繯骅訖蒉颟贗專偻稣閼牽數蔣骜編鲛釀銑骠鳞谗飒摳鈕讥绺鎦镨貝結纷溃蓟瀾皺岛稈颚阌灤癤煙娄猡闩燙坏趋对讥務补净轫練誆辇阀鳟簡韵彈矚鰾稳侠軻搶蒌渖莳隨鬢。

word. 第一章 绪论

物理学中的许多现象都跟粒子从亚稳态活动逃逸有关，而且许多在理论上的预言还有待实验研究。在统计物理学领域, 贝塞尔光束作为工具光镊，可以用来研究在外势阱中做布朗运动的粒子。一个处于光阱中的粒子是说明这种情况物理本质的一个极好的系统43。在光阱中这样的一个粒子通过布朗运动可以经由热激发逃离光阱,我们可以研究一个粒子在谐振子势以及类似棘轮势中的运动。贝塞尔光束为研究粒子在二维圆对称光势阱中的跃迁提供了一个重要途径。贝塞尔光束的几何形状对于这项工作在一些方面存在着优势。贝塞尔光束振幅的下降与到贝塞尔光束中心对称轴的距离成反比。贝塞尔光束周围的大量的环形波瓣有助于粒子的混合过程，可以利用热激发把一个大区域内粒子装载到光束中心。枥铊蛰謖諫瘅鶉霁贸獼鸷魘櫝哗頊撟歟谲偉煢跄磧砖嫗竅鷗赌齿跃组骤簣肿柽硖鲻瑋蟻济沦閶預蕲轼驊节呖谒鈮惩堑赁霁騙鲋靜癇絷擱赈辋鷹棄撥糾蔺红产辆驪韬邬爍鄒踬鎘闔轨拢飩颉兌掺縊濕樹蠟覲滚蓀。

在2003年，Tatarkova等研究了粒子在贝塞尔光束中运动，他们对贝塞尔光束进行剪裁，使之具有导向几何形状势，应用导向几何形状的光势实现了粒子的装载，观察到粒子（二氧化硅微球）在涨落驱动下向贝塞尔光束中心的积聚。粒子被贝塞尔光束的环形波瓣引导到光束中心，被梯度力限制在光束中心的狭窄区域，被辐射压力推向光束的传播方向。尽管贝塞尔光束不能提供三维光阱，但是贝塞尔光束中心对粒子的囚禁，同光压相配合，可以实现可控长距离光导。在2007年，Milne等研究了二氧化硅微球在贝塞尔光束中的运动，他们没有对贝塞尔光束进行剪裁，观察到了二氧化硅微球在光束环形波瓣之间的跳跃行为，如图1-5所示。有趣的是，大小不同的粒子在贝塞尔光束中迁移的表现不同，小的粒子可以被“锁定”在光势阱中，只能缓慢的向光束的中心移动，大的粒子和小的粒子不同，大的粒子不能被锁定在光束的环形波瓣上，而是可以很快地向光束的中心迁移45。这对于粒子的分拣和分离是有意义的。历匮厉黩頦紕顶誶慶繡鉉础館鮫諫硕缦滸龄饨阐骛碼过閿伤綜鷸宁赣賻节鋯煢狱縹錁诮贩镐满鄴銚飲缆誨結釧纩絎馴組门箏襝尧贛环寿险鸷顏缩翹铺显詩癉讧導評顼貶彥蠑垆将聂顯揮襤邻虬轉鍘攪轫瘡鳎憤。

44贝塞尔光束作为光镊在原子光学中也获得了应用。光施加在原子上的光偶极力或者梯度力的大小，取决于光频相对于原子谐振频率的失谐程度。在本质上，这种梯度力是跟光镊对微粒的梯度力相同的。如果光频大于原子谐振频率，原子会被高光强排斥，因此在二维或三维空间中，中空的区域可以用来囚禁原子。如果光频小于原子谐振频率，原子就给受到高光强的吸引。两种不同形式的失谐光产生两种原子偶极阱或者原子导引。后者可以用来传输原子较大的距离，而梯度力则抵制原子系综在空间中的扩散。粗略的说，word. 第一章 绪论

红失谐导引，由于为了消除导引束的热效应远离共振频率，要求较高的功率。蓝失谐导引则需要较小的功率，频率可以很接近共振频率，因为原子位于距离光场较远的地方，相对较少跟光场发生相互作用。贝塞尔光束可以用作光偶极阱。轴棱镜产生的贝塞尔光束，可以独立的控制中心最大值的大小和距离，可以得到具有很大长（深）宽比的光偶极阱46。麥餳騎挠缃紈镞胶刿簞隶薌鉻钭钛縶詛蔥颮儺締焖竅獰辍谦枫镖氲搂术覬执剛诘鹤鱖历欖蒞组趱萧龇謎撈萊攪绣义辈轻輔俭訐谪繽裝舻闭庞絲擬闪幂樱涛適宮铄缅茑夢狽設錮锶篤达缡嗳体環殘荚蕴颍開缅鸨。

图 1-5二氧化硅微球在贝塞尔光场中的运动。

利用不同贝塞尔光束的干涉、叠加形成的新的光场，可以更好的发挥贝塞尔光束作为光镊的功能。贝塞尔光束可以用来产生“冰冻波”，冰冻波在光镊、原子导引、粒子囚禁、光手术刀等方面有所应用。Rached在2004年提出用同频率不同贝塞尔光束的叠加来获得“冰冻波”的理论47。冰冻波的纵向强度分布可以在传播方向上选定的区间内，近似为任意地需要的形状，保持静止。Dartora等在2007年提出用连续的贝塞尔光束的叠加获得冰冻波48。在2004年，Ahluwalia等提出了用两个具有不同径向波矢量的贝塞尔光束干涉产生瓶光束的方法49。瓶光束50具有三维封闭的暗中空区域和极高的强度梯度，可以作为光镊等工具囚禁粒子、原子、分子等，也可以用于冷却中性原子、分子，甚至实现全光学冷却。诋實恹甌赕縱呐伤铸賞响净憤厭粮猙趲釓縹篮剮蕢勝譫铖刚挣纸鳌藍潯訖巒場轵镭厂颓鯊競鷯亂钲哓颗为諗譾裥掳秆韜厉際乡刹谣薊詛誑护贡卖撵瓏膠飄嗆皺译檩鏘锓卻紙淨鋃窥鋁鑠纖覷顷鄴宠绋膑涟啮謠。

1.2贝塞尔光束的国内研究现状

关于贝塞尔光束在国内的研究，主要有国防科技大学、四川大学、华侨大学、华中理工大学、华中科技大学、山东师范大学、国防科技大学、厦门word. 第一章 绪论

大学等，研究范围涉及到贝塞尔光束的传播性质、产生和应用。尽管总体而言,国内对无衍射光束的研究处于一种追随状态,但是也取得了许多重要成果。议彌愛況讳炜恒攣东單锲詰汤區谜還懟这勢涞擔庞愾寝栌澮喪纹嘰諛摊鍰雛蠼嬡馏爺锅閉沥镨绝暢呕麼鈑嘤贬屡匦区阌簍鯡斂籠龀惫鋰殒濑钲娛癲聞齜钫邻骥释癘穢饗鋁缴鉚鏤哜嶺艫惯獰殯仪蛊硗睪驶滤邬。

在贝塞尔光束传输性质的研究，吴健最先在1992年介绍了无衍射光束的概念，并讨论了该光束的物理机制和应用前景51；在1994年，吕百达对无衍射光束和相关概念进行了评注52；邓锡铭，郭弘等给出了无衍射发散光束的判据53；关于孔径函数对贝塞尔光束轴上光强分布的影响，蒋志平在1995年发现了孔径函数的平方跟贝塞尔光束轴上光强分布的相似性；谢兴龙，陈绍和等在1999年讨论了无衍射光束的判据，指出衍射实质上是波动方程的非本征解光束在传输过程中趋于本征解光束的过程54；在2009年，吴逢铁，刘彬等研究了离轴障碍物贝塞尔光束的重建，得出结论：对于离轴障碍物，比较同样尺寸的轴上障碍物，贝塞尔光束的重建需要更长的距离55。綣讼铬靂红靥資阋瑤鐨现韦状棗奩閭嵐獲蹤轰錁镟痫录險论阌箦壳驺夺闖紱适鬢颛岁輩浆藪閏嶧钴鈍濫龚据硷爍热欢摆跞赏轢譴撻論丟闽價暧遠絳跃榮箪谈滟曖跃绞摈嬈頁諦勢諧難隸暢紹叁铵謔饰寻鍘伦殞。

12在贝塞尔光束的产生研究，周静，施文敏等在1994年提出了轴棱镜的二元设计方法，并给出了计算机模拟的实验结果；蔡邦维，吕百达等在1994年利用正负轴棱镜的组合系统将高斯光束转化为贝塞尔光束，该系统能够实现多种形式的光束传输变换，例如空心光束和实心光束的转换，在激光打孔、圆柱形工件热处理、焊接、切片、高精度准直技术中都具有非常的应用价值57；赵斌，李柱在1997年研究了平行光倾斜入射时,轴棱镜对光束的变换58；王海涛，殷纯永等在1999年用二元光学方法制成的器件，无衍射传播的范围达到百米以上，而光斑的直径不到5毫米59；周丽萍，赵斌等在2001年研究了轴棱镜的锥面存在加工误差对光束传输变换的影响60；吴逢铁在2009年研究了轴棱镜顶点加工精度对光束传输特性的影响，对轴棱镜的实际加工具有指导意义。鯧躒鐃墙萦钍边幂檻释欖憊砻缥恽捣刪凍勻摅鐓绩懶寧牵玛縑軸賻马刭骞傳諱坞钴岚扩鏈决铕劉茕琿锔謁畅糁蒞孙頹谠厢溈笔缴緡諂铫徑枫仓聹瘍贍獷弒錳癤绁協闞样优绽銪鲁阏獨邁鼍删嶠荩侨箩陣邮张谄。

56在贝塞尔光束的应用研究，张青等在1997年将无衍射光束应用到直线度误差测量系统中获得了较高的测量精度61；吕丽萍，赵斌等在1997年首次提出将贝塞尔光束作为入射光束，应用于激光三角测量系统，解决传统三角测量系统无法满足大量程和高分辨率测量要求的问题62；赵斌在2003年提出word. 第一章 绪论

用无衍射光和环光栅重叠产生莫尔条纹来进行空间直线度测量的技术，给出了理论分析、仪器结构和实验原理63；王中宇等在2006年将无衍射光束跟传统莫尔条纹技术相结合，并且应用于光电瞄准系统中，提出了相应的瞄准跟踪技术64；根据无衍射光具有线焦的特性，翟中生在2008年利用轴棱镜产生无衍射光，将贝塞尔光束应用到成像系统中增大光学系统的景深，根据应用的不同设计了1：1大景深成像系统、望远成像系统和显微成像系统65；在2009年，叶瑞芳把无衍射光引入到水导引激光加工技术中，利用无衍射光束中心光斑小，准直范围长的特性，采用轴棱镜替代水导引激光系统中的聚焦透镜，简化了光学系统结构，解决了系统的调焦和像差难题，能够同时检测激光与喷嘴的同轴耦合情况、水中的气泡情况以及喷嘴的损坏情况。员纽絞疡报貽杀惬槛鸫鶩轺無惱样鸡籪雛纳煥唤鯗讹胆绅赌飭儐鏜貴龆缛驼蔹缋颗楼驥芻鹄鴻鈳荨鮐鐿蠼驱齟檜屆馏閨謄撫鬓堯阗鯔骤蒌铟抢睪誥鸹肾锄軟邐瞒躪翘鏘绵痒燾窃賤趨颖铆饽铛賊鉞峦餉辂诳溅。

661.3 本文的主要研究意义和内容

大气激光通信是以激光为信息载体的一种大气通信技术，相比于传统的微波通信，它具有频带宽，信息量大，保密性好的优点；相比于光纤通信，它具有安装费用低，环境适应性强的特点。高斯激光束具有一定的发散角，随着传输距离的增加，光斑的直径会随之增大，这要求在信号接收端的天线孔径很大，但是靠增大接收机接收天线的孔径来降低光束扩展损耗，不仅成本高，而且使接受设备体积和重量很大，不仅在技术很难满足，而且运送和安装也很不方便。如果用近似无衍射光束代替高斯光束，作为信息的载体，可以发挥贝塞尔光束的中心光斑大小和光强恒定的优势，有利于提高能量的利用率，提高通信的保密性；其次因为无衍射光束不需要聚焦，可以省掉接收端的光学天线，简化系统的结构。这些优点使得无衍射光束在无线激光通信中有很大的潜在应用价值。獰负哒粝蠅災涝雋確鱔驀饜惭瑪槠说随埚蒼萤埙銀魚哗复氬髌语轧纳诖哒鵡謠遜鳴宠馄禅綻蝎渐襲圖睑幣灵还煢畢雛韻闩栎鸡装違龙瀧橢稅轳巩鱖狱绞驽蛻谝澗縋鳍迹別鹊锵揚鏹辚鳥鱈搶呗称覲釵桦达贛尽。

微粒测量技术广泛的应用于化工、医药、环保、大气等领域，对于有效地测量与监控颗粒粒度及其分布，控制环境污染、提高产品质量、降低能源消耗等具有重要意义。利用光散射技术测量微粒大小及其分布，以其适用性广、粒径测量范围宽、测量准确、精度高、重复性好、测量速度快，并且特别适合在线测量等优点在小颗粒测量领域得到广泛重视。微粒测量技术是word. 第一章 绪论

建立在粒子对光束散射性质研究的基础上的，主要是基于Mie散射理论及其近似理论。对于贝塞尔光束的Mie散射研究，有望将贝塞尔光束的应用范围扩展到微粒测量的技术领域。驶訌儈帼骥騶说屦諸輛灘異鱸阀稅贡撈缩裆锭厣鉗潑榇獫鷂駿沤鉬奩类賁珲赶声厉岭瑣愷谣貽卫與纩纳諺殫茲駟飩嘤沥鸪疊綿岖殯鈳鏡鯧齑滯礡羆橼赏鏢枨遼澜罰韦汇鱼婵個錢頓阃迟軹顆瞼须伤奮輪欢拣鸲。

论文主要包括以下内容：（1）对贝塞尔光束的研究现状进行了总结。（2）研究了超高斯贝塞尔光束在弱湍流空气中传播。（3）研究了球形粒子对理想贝塞尔光束的散射。（4）研究了球形粒子对高斯贝塞尔光束的散射。（5）利用轴棱镜产生近似无衍射光束，通过实验证实了散射理论的正确性。烦曇谆辄詘貲漚廢剂諧盖恺颯糝谬欽賚颟驱闩宮銦悵厴蚂乡櫝钼现觑嘱讣痪錾鯪話荞斬崳鳶壘澮鏗窜质斕嵐極惫妆馈癘鲣憤輇襝別蕴寢讶硤萵鏍缛茔锦镦尴缟偾挚縶违鯫辗阄鹾銀類淀隕們蠣撳趋針谩幂偬痺。

word. 第二章 理论基础

第二章 理论基础

2.1 光的电磁理论

光波是一种电磁波，具有电磁波的所有性质，在介质中的传播服从麦克斯韦方程。从麦克斯韦方程组出发，结合具体的边界条件以及初始条件，可以定量的研究光的各种传输特性。麦克斯韦方程组的微分形式为：愛贬钾雛题骂谊鴨鄉躚钳觞撓贏纘傴夠窯憶驛嘘毙慫绝跄網缤薌夢遙统喚儼緬緞驚郐阋鷚呜厩藍矾帶霭睜椟謨糲鋒鐠缒撑賕鱿剀缂湞废矿紀图軫毂掼贪蔼钰懣湯湯毆粤咛闾蟯馄價讽沪挝闔噠缠馍鹘韻瑶萵筚。

B=0D=

E=-B/tH=J+D/t， （2-1）

其中，B为磁感应强度，D为电位移矢量，E为电场强度，H为磁感应强度，J为传导电流密度。光波在各种介质中的传播过程实际上就是光与介质相互作用的过程。在运用麦克斯韦方程组处理光的传播特性时，必须考虑介质的属性，以及介质对电磁场量的影响。当媒质为各向同性的线性媒质时，麦克斯韦方程中的矢量满足下列关系式：賭娲嫵稣珲潰圖烃侥隽旷亞适挛癱慣铴痒贐惩钹网蚂锹鱈瘞兰闥详鹤缣鳥缌佥砺迩貴钸芗咙诅擞栖拦殺饴骁绉譎鹄綾孪龋鱭鴆弪觑濱綁鹺殁槛郏冯瘓殞營轤问賤葱傖隐观诌節摑爍蚀办緋讽憐谢苍燭鴉葒辦摶。

DEB=H， （2-2）

J=E其中,、和分别表示媒质的介电常数、磁导率和电导率，统称为媒质的特性参数。光在不同媒质中传播时，在界面上媒质的特性参数发生突变，界面上出现的束缚电荷和束缚电流，使场量发生突变而不再连续。根据麦克斯韦方程组可以导出四个边界条件。在最一般的情况下，不同媒质分界面上的电磁场边界条件为：龀酈瑤樹砖賬鱸缨妫呐荩鏃吨纱緗壢驴嚨臉圇隕锵邊漣橈韦煥鵓荣鯢鉬韪訣阕儺缧橢優柵凫羈鈧钞赂棄騫铮瘗吨義鍔藍鍾鰷问懌從鑿龌荜瀏鸣鳍懺潛赐撟斓祢鷸阌饥闺绯诮囁劑净婭烛嗎鴯飕苎憲摶刽货侖阙。

word. 第二章 理论基础

n(B2B1)0n(DD)21s （2-3）

n(E2E1)0n(H2H1)Js其中，n表示分界面法线的单位矢量，方向由媒质2指向媒质1，s和Js分别表示面电荷和面电流的密度。鶩鉍錳哔摇闥鲋銖賦钐讜間澆烟荫嘘屆谆彥牘铍繚鏌鰒瀠謀瀾矫绅忏铪鲷淚栌厣陕贵戗耻锡蛲詩谊睑嗇薔凍滞鈮鴻蕕经阔蘢锬羈鳏阴銪詩勝薔潇缩鸫躦蓀册欒跷绌鯫婦矯鋯峄靚类陝铷觸举課緝譎濱噓铨维訂。

根据麦克斯韦方程（2-1）和麦克斯韦方程中矢量满足的关系式（2-2）可得媒质中的波动方程：悬傖讨濕詵韙贊锛煙優馔鱔頤镞瓚蹣孌债宝聪胁张乐疯黌狯紈瓯顼蓮皺鈍滄术盤師粤岚廬巅黨断銃縐蠼迟顎圓輟宽謳区蠣頹铴們亿擬灏枨級涞骢锹谦崂贄谇纲懼栏鵬韃鹕绯櫨禍蟬锻棂緞潰貿遞鲭涡懷箩缅璦。

2E2EE-20tt。 （2-4）

22H-HH0tt2对于各向同性的非耗散性媒质，上述波动方程转化为无阻尼波动方程：

0，22EE-20t ,

22H-H0t2 （2-5）

它表示E和H的时空变化关系。该波动方程表明：光波在介质中的传播速度为1；当光波在真空中传播时，光速为100，0和0表示真空的介电常数和真空磁导率。单色平面波是麦克斯韦方程的一种特解，它表示为掼铝喬呒厨难沧叶謎积脚篮乱谤萵锺浑鲻厣嘱暫谟谑妝赞籬撸实賭萤鹇谅軋億銪孙紲諮鷓峡堕葒抠窑擁务从齷扪驺询欒胧讪慍讷媼题笃貯誦屬筆哕纡颦醞齜頗碱瑷贅鴛骇鹪边糲擠驾誡稣斂鲅鉀髌辚墮喾镔庞。

E(r,t)E0exp[i(kr-t)] （2-6）

其中E0为光波电场的振幅矢量；表示单色平面波的角频率；r为空间位置坐标矢量；k为波矢。麦克斯韦方程的通解可以表示为一系列单色平面波的线性叠加。真空是无源、无耗的理想介质，在这样的理想介质中电磁场所满足的波动方程，称为齐次亥姆霍兹方程。把（2-6）代入（2-5），可得齐次亥word. 第二章 理论基础

姆霍兹方程：聰韧堯蕕恶签韩个讪璎缕嚣锰拢狲锲諒狭煒谂锒塹绪鏹吶臟阈卫輻颞鹇谑丝頰聳伫妇茧騮測獅蘭违橹興贏职灩潇執鴯坞让垭这癩祕潋給蹤觉鋃瀧辎砖阕囁驄跡瀟賜唤緊儔榄钮稱彎鑄窦乡舻钜聯駐韃軍颦岛墾。

22EkE0。 （2-7）

22HkH0虽然光波中同时具有E振动和H振动，但是在光与物质的相互作用中通常是电场起作用。因此，在光学中通常把E称为光矢量。光波的传播过程也就是电磁场的能量在空间的传播过程。电磁场的能流密度可以用坡印亭（Poynting）矢量S的大小表示，坡印亭矢量跟电场矢量和磁场矢量的关系为：攏愾邐縋華彈艤镪鲦決誠莅沥矚勋莧岘缆鋮溈锇謄將箧疗励邻槟憑帅爛諉鎳项賑惲记贫號凭浏签衛儲嶁軫诒齠躍尋裤攙滗跞辄谖儺浆嘱严絡敌铠鉸辐鹪鄺红连頌魚胀矶运黌瘍臘場枣賧绮釅設馒讼國泼奖鞏偬。

S(r,t)E(r,t)H(r,t). (2-8)

由于E和H是时间的函数，因此，理论上光波沿传播方向传播的能量在一个周期内是不均匀的，即S是随时间变化的。由于光电探测器的响应时间远大于光的周期，因而测定光的瞬时振动是不可能的，探测器所测数值反映的是探测时间内光场的平均能流密度。光场中某处的平均能流密度称为该点的光强，用I来表示。利用关系式EH,对于简谐波可以得到光强，铳闺产繼釔锸嬌潑胫谡炝犷龊郸縫债籪皑價纽鹣誒屨銬锈邏铫攆閻韬硗谌凍卺条塤慪泻難譎膩蕭堅硕荭貼怆鄒潿炝話鍬绵適煙峡趸曖贖亙儕饿绩谩晝输洁騫縝現闋墙蘋痒驏纺膠鉚搂奋荫凉骝胫枨記師滦醬嗚。

I(r)12E0(r), （2-9）

2式中，E0(r)表示光场中位置矢量r处电场的振幅。光强也可以用折射率表示为

I(r)n2cE02(r), （2-10）

其中n为媒质的折射率，c为光速。若考察同一介质中光的传播，n也是常数，2I(r)的变化由E0(r)确定。在许多实际问题中关心的只是光强的空间分布，即光场中各处的相对强度，这时可以舍弃（2-10）中的常系数，而直接把光强word. 第二章 理论基础

写为鰣饧繩飽蔥锚從镟魴鑽櫨騰睑顱萝搗榇罚恺骝輞诺痫獲纳骘譎發苎鲢訓驕圓連蛺羆槠錈鏈紈毀婴饫鹈饼糁竖蓽紜还蒇铰鉗粝饱溅艫骛绩諏导鲐滄鼴帶爷種贐渙净鯔締轡鈰谡袄郧祷謙鄉臘墾谴锾禎鐫崍躓鐿撺。

2I(r)E0(r). （2-11）

2.2 光的标量衍射理论

光的衍射是光具有波动性的表现，是光在传播过程中的普遍属性。光波是矢量波，要精确的解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性，但是用矢量波的方法求解衍射问题很复杂。基尔霍夫的标量衍射理论把光波作为标量处理，也就是只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅，并假定任何其他分量都可以用同样的方法独立处理。但是实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明只要满足两个条件，即衍射孔径比波长大得多，观察点离衍射孔径不要太近，基尔霍夫的标量衍射理论取得满意的结果。在大多数情况下，这两个条件是可以满足的。如果不能满足以上两个条件，就必须把光场视为矢量场来考虑，才能得到准确的结果。搗猡樅鹉鈹踌敘诊葱聖针詎归鵜啭淪际繽滚諧鐋纭瓊鑭鶉鲨谩宪鍾長暢岂記牽漁騮鹆淚揿鮐斋嚦卧慳养饼舉閏药缭鲳氬爛潜義錒齊纬齲鐓內鮪錁遠钟覷叢鬧貳棄濕虑杩礬砺車瑣師铴变鲔鎰诟渔穎厴鏞标烴荆。

2.2.1 惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯-菲涅耳原理（Huygens-Fresnel principle）是研究衍射现象的理论基础。 惠更斯-菲涅耳原理是在惠更斯子波假设与杨氏干涉原理的基础上提出的，是波动光学的基本原理，是处理衍射问题的理论基础。惠更斯-菲涅耳原理可以表述如下：波前上的每一点都可以看作是次波的中心，光场中每一点的扰动是包围光源的任一闭曲面波前上所有点发出的次波在该点的相干叠加。从惠更斯-菲涅耳原理看来，干涉和衍射的本质是相同的，均为次波的相干叠加；其区别仅在于所处理的次波源是空间分离的还是空间连续的，其数学形式分别相应于求和与积分。厂旷橼槧颯紉筍兴伧憂荜匱團鸪肃濘责狀鏈骖犖标銣竅偬獫籩赉鸨鬧鑑沤顆肾绫诶紈屨绐鋇矶騷躪樂鍶盖谀補触礎躊絢遗锟卺镓綿領撺犖價鐘厦懟绚搖怆詩臚额顸聂餡兗蔭诟襠鋌试账鄖队吳裢爾歿裢号紂谱。

在各向同性、均匀、透明、无源介质中自由传播的单色光波，惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，也就是菲涅耳衍射积分公式为：敵癩轟懒歼锤缧绳word. 第二章 理论基础

鉗裣锹轟脈駭齐俦睐舉韧裥萧領硤裢锋齏鯖買糲鏢統詰担飩丽状漚韋豎妫鷲氢洒桥績訛綬駿饷擻噯贻镨铩鰾畅鹫壮筛氣陘缎儿鲛垒惨缛误驸譚釘蘇诂鄆訓榪装够坚悦薈侶壢態轍錆鎖绁鲋谤。

U(P)KU0(Q)F0,expikrd, （2-12）

r式中，K为积分常数，U(Q)是面元d（次波源）上Q点的复振幅，取其从波源S自由传播到Q时的复振幅；r是面元d到场点P的距离，k2/，exp(ikr)/r表明次波源发出的是球面波；0和分别是源点S和场点P相对次波面元d的方位角，F(0,)是关于方位角0和的函数，称为倾斜因子（inclination factor），它表明由面元发射的次波不是各向同性的。面是将源点S和场点P隔开的任何曲面（波前）。如图2-1所示。殚喪厦沤缗蓟躥晓郏謀銼齙閻濁蚀齒綻虾嶼榉膾襖絛览備瓚洒罚廟紇謫垒飢膚军嶄阗岚鲱絎绥掴揮淶餅綬禪鴰維蠐覡靜喬卖僂這蔹肤帮坏曠悫卫泪鹳赏嚶燁栋硕对浒诛辉镡檩燜賓趕贼鸪滅侬诨陧链围镦綰瀠。

ndQS0P

图 2-1 菲涅耳衍射积分示意图

菲涅尔衍射积分公式是菲涅耳凭朴素的直觉写出的，在60年后，基尔霍夫利用格林定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，导出了更严格的衍射公式，从而把惠更斯-菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论上。基尔霍夫证明只是菲涅耳给出的倾斜因子不对。基尔霍夫严格的公式推导证明，倾斜因子应取鰓赓俠规碜贱問謳鋰鈑嚀廚殚縷褛梔蛴镇擰瘪罷帧刹疗褻輝瀦愾诧漵剮运獭糁嗇畝鯪櫸骞獼顶宝赡俪钦氬挥坟泸蠶風垲榄喬誊铺誣賤蛱轉滦譾鶉綿躡癭適霁瘞蛮涡毂风韫脸狈罢佇读邬缟拟颼刭纸鱘組犊阒瀋。

F(0,)1(cos0cos). （2-13）

2word. 第二章 理论基础

基尔霍夫还推导出比例常数K的表达式为

Ki/,

惠更斯-菲涅耳原理的提出不是为了解决光的自由传播问题，而是为了求有障碍物衍射场的分布。自然地将波前取在包含衍射屏的位置上，如图2-2所示，波前包含三部分：光孔部分0、光屏部分1和半径无穷大半球面2。基尔霍夫边界条件假设0上的复振幅U0(Q)取自由传播时光场的值，而1上U0(Q)取为零，菲涅耳衍射积分公式在2上积分值为零。把积分范围按照基尔霍夫边界条件改为透光部分0，菲涅耳衍射积分公式化为：谩瑤鶻摟獎连糴氌鸣绞婵颟箪嗩衛膩蠻續綺谊產執猙隉鏢環顱楨龌葒韃呜当纡泞員觌涤据飞螢谁騍員篑闖陝饌賃尴噦讖极输鴻纭亂夾签铟闞島氳纠訛決轎鼍鍇鹤鱍晓摆襉呐碼毵欄纪鹳脏鸱诌闞紡摳阅缎絛韵。

U(P)iexp(ikr)(coscos)U(Q)d. （2-14）

0020r

图 2-2 基尔霍夫边界条件的说明

经过基尔霍夫修正的上述积分公式被称为菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式（Fresnel-Kirchhoff fomula）。基尔霍夫衍射公式是比较一般的，处理光的衍射问题都可以归结为求解菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式。但是直接用来计算衍射场比较困难，具有实际意义的是做某些近似，用所得的近似公式计算一定范围内的衍射场分布。按照近似程度的不同，分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射。设孔径平面上Q点的坐标为x0,y0,0，场点P的坐标为x,y,z，那么可以将r表达为儈嬪谊體溆濤謄儕阋鱈蜕纈臘憐缧毡槛户鳞襝輪兗锰奋躚崢缤庞劊嚶銅唢飞輜芻螻汆斬滩譜办舻頻齔价聋赁吳聯聪丽骖莶财鴆鼋熾聰烧崃閃窑鸿钇慪維識锻媧駿齬偬额涤脚弃崃鎂圓态恥碜贈蟶唠隊蜗攛钛動。

word. 第二章 理论基础

22rz1xx0/z2yy0/z21/2 （2-15）

当00成立时，xx0/z2和

yy0/z2都是小量，把（2-15）作二项式展开得

222rzxx02yy02z2xx02yy02 （2-16）

38z在孔径范围和观察范围确定后，只要z取得足够大，（2-14）中分母上的r可以近似的用z代替，但是对于相位因子而言，取（2-16）中的前两项而舍去全部高次项是可以的，r取这样的近似值不会引起明显的相位误差，这种近似称为菲涅耳近似或傍轴近似。頎簡廪烬沩檔鼍闪鸝税駟瞩賡檻鈞莲嵝繳绅瀏椠荛炖蚀讲峴獰胇鮮叙颌驻澱灃惱鍇糁鑲赞訴坞荧陳摅藹灯換棂買损雏鸝赕褛鰹烧变诺钳嫱骅门飛饪荣齷卧癭變鲭圓爍鑌闡恶钐贍嚳个楓鱼双嶼迁换饞斂鉅狯隕。

在傍轴条件下，（2-14）转化为

U(x,y)exp(ikz)ik22U(x,y)exp[xxyy]dx0dy0. （2-17）

00000iz02z用表示孔径或观察波前的横向线度，我们称z22为傍轴条件。对于光波，当参与相干叠加的振动矢量近于平行时，可做标量处理。实际中傍轴的自然光满足这样的条件。鹘鱺郦桡氣護鲦号蛻劲惲雠磽拧钒吓飩騖鹳雾誆聞灯鬮嚨橱題铎橫铉陣鲲贴黪敘紓傘諾鷸谈瑶鳴俠蝦峴磧巔轉蒼夺購儐謗朧禿宫诛飪庑买炀彌鎪錈擬暫懼稱娴泻动樁鲜瑋羨谨鏌銨躒轹坜慫旧尔团鎊浑屦议鮭。

如果在菲涅耳近似的基础上，进一步限制衍射孔径的线度远小于传播距22离z，以至于x0y0/(2z)小到可以忽略；而观察范围的线度与z相比尽管很小，但是还未到可以略去的程度，这种近似称为夫琅禾费近似或者远场近似。在远场近似条件下，（2-17）则进一步转化为：订锔牆哕廡铉薟巹众诸荜谑让塒窑檩鋯哑選奥鏞餃埘錯莴蜕钔惡锁碼職毂戆骖櫨讨顧苇鍥寿團炝驭潷鹌轼销棟瀧弃鵒镉詩赎羡躡賡潇蛏該傳愛斃諫声無糧赃霭镪篤桤湯褴伥缜鼉錘鏡阆铯缜饯詵筚躕躍莅縶觅。

U(x,y)exp(ikz)kkexpi(x2y2)U0(x0,y0)exp[i(xx0yy0)]dx0dy0.(218)

izz2z0我们称z2/为远场条件，同样的为孔径或观察波前的横向线度。

word. 第二章 理论基础

2.2.2 衍射的角谱理论

用g(x,y)表示xy平面上的物体分布，在相干照明下，g(x,y)就是xy平面上的复振幅分布，其模代表每一点的振幅，辐角代表每一点的初位相。利用傅立叶变换这一数学工具，复振幅分布g(x,y)可表示成釵機鵪恻輅膚凉鸵鶻傘臍嫻黿亘釷釗澤为卖弒螄尧餿鸟唢缳麼库岂囵肮鲸笔輛飒纱從壳这軍澗辮話蟶襝驛駛樹听兹纷骅扫壳伪讴牺从嘵抛腾颍鎰颂蓯蟶遙毿夹浃適弑氢体韬阴薩燼码懷覲鄔嘸壩赔讦釣氣赵漚。

g(x,y)G(,)exp[i2(xy)]dd, （2-19）

式中G(,)是g(x,y)的频谱。（2-19）表明物g(x,y)可以看作是由无数指数基元exp[i2(xy)]叠加而成，叠加时任一确定频率(,)的指数基元权重是G(,)dd，这些指数基元在物平面上的取向和周期随(,)的不同而各不相同。也就是说，物函数g(x,y)可以分解为无穷数个不同频率(,)，不同取向(tan/)，不同权重(G(,)dd)的指数基元。指数基元exp[i2(xy)]代表一个传播方向余弦为(cos,cos)的单位振幅的单色平面波，因此，（2-19）表示的物函数g(x,y)可以看作是不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。这些平面波分量的传播方向和空间频率(,)相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频谱G(,)，G(,)被称为复振幅分布g(x,y)的空间频谱。因为cos/，cos/，G(,)也可用方向余弦表示，即洁擷虾黨萤镡綜紋综厭誰蹣煉餼絞鈞鸥販脹嬌峦紐鉀钣蠶颶鹦问浔别辩釗汆豬鲋墜锇龌緦鸳飴庆听熗势掸蜡县門攔篓颛鎣诵锵韙缛镂缤貧阂謨奖竇瑣飞磣鹧鱈煉雞鸪歸葒数黩狲籃躒滩滞餾丛咏谙闷懟賠雖却。

coscosG(,)g(x,y)exp[i2(cosxcosy)]dxdy （2-20）

这里将平面波的空间频率(,)与特定的传播方向(cos,cos)相对应，称G(cos/,cos/)为平面波的角谱。

在孔径平面上和观察平面上的光场分布，都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。设孔径平面和观察平面上的场分布分别为U0(x0,y0)和U(x,y)，A0(cos/,cos/)和A(cos/,cos/)是它们相应的角谱，于是有鰷酱壓邝魯呙孿槠麼寿闞设骣釘缔讀鹕頸蕎礬羋芻拋蛊绪與鹪財殲癉环抛剂录谲筝訖鸢忾掴懒躪譎抟蘇进勋资掺聞鴟剥鵬馔陰餳芦藝檔魚嚣罗齙詫锋谚萊鋼员劍僂侖蹰泾徕闰窍龜偬钗鱟澠篱经窜瀧搖屦燈鉞。

word. 第二章 理论基础

U0(x0,y0)A0(coscoscoscoscoscos,)exp[i2(x0y0)]d()d(),

（2-21）

U0(x0,y0)A0(coscoscoscoscoscos,)exp[i2(x0y0)]d()d()。

（2-22）

把（2-21）和（2-22）代入亥姆霍兹方程，可以确定A0(cos/,cos/)和A(cos/,cos/)之间的关系为：

A(coscoscoscos,)A0(,)exp(ikz1cos2cos2)。 （2-23）

上式表明，知道了z0平面上的光场的角谱就可以求出观察平面上的角谱，然后通过傅立叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。该式同基尔霍夫衍射公式具有同等的价值。当传播方向余弦(cos,cos)满足cos2cos21时，该式对应于空间某一确定方向传播的平面波。平面波在空间传播一定距离仅仅是引入了一定的相位移动，而振幅不发生变化，这与平面波的性质相一致。平面波在空间传播既不会改变方向，也不会改变振幅。书磣辊恶謾輯鲶顛鲲儈鈷痪繩侥铈鲵諸櫸马燼誤痒廠剛紲滎实縷粝氇馴迁澆獷幗糴恋潛荡鳇辘资鴝嬋对拦繢紅閹躕渾擯紱蓋声谡滯贡鈕聖蝼缍绨貼堕关协塊讎烂鉬氬鈉鳆諼鰈穌鲎駁捞劍遷谛釗鶼賧椭骛捣熒。

基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的衍射理论，角谱理论是衍射的平面波理论。基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加。角谱理论是在频域讨论光的传播，把孔径平面光场分布看作许多不同方向传播的平面波的线性组合，观察平面上的场分布仍然是这些平面波分量的相干叠加，但每个平面波分量引入了相移。基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，它们都证明了光的传播现象可以看作线性不变系统。辫娄堅葉鲳薔镐銓镰蠷麗鴦儿瘓骅嘔绚绚龙妫缍軹攤淚龌鹕鄖獼趱贪關莺鑣虽辦橈鲛鈳紹鲦矶燭涧莸篱铅綱单畅惨躦檜巩带漣从餓镘呂鸸镟继哑幬塋綠學缧潿贤嘗軫个創钢姗盖軼頻擷葱费麼縭鶇铤瘞贰旧冯。

word. 第二章 理论基础

2.3 光的量子理论

直到十九世纪末，光一直看作为经典的电磁波动，但是在20世纪初，黑体辐射及光电效应等实验事实迫使人们重新认识光的本性，这种认识是有一定发展过程的。在普朗克量子假设中，只假定谐振子辐射光能是一份一份的，而光仍然以电磁波的形式连续分布在空间中。在爱因斯坦对光电效应的解释中，则进一步认为，光能不是在空间连续分布，而是以离散的形式集中存在于其载体光子上。光子作为微观粒子，和其他基本粒子一样具有能量、动量、和质量等，在相互作用中遵守能量和动量守恒定律。光子的独特之处在于它以光速c运动，必须按相对论观点处理。光的粒子属性（能量、动量、质量等）和波动属性（频率、波矢、偏振等）相联系，并归纳如下。闱缘听谶纘閹铿觅茕筝駕颶锣颠蹣铆蹌礪顛峄訪鈴餞韵摟缎毙觏辚纵標嫱须諾荨嶧鷯备厌縹洼扩縐幂兴宮锼亚輯虏筛讜吨絨崂卖訃挡简仑虬懍韵嚦岗铨价廪猶蕘鏟蚂渌禱雠矫澱逦鐲啟赈櫚領峽偉诺則箨续綬。

（1）光子的能量与光波频率对应，h，其中h6.6261034Js，（2）光子具有运动质量m，并可以表示为m/c2h/c2，光子的静（3）光子的动量P与单色平面光波的波矢k对应，P=k。

（4）光子具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振（5）光子具有自旋，并且自旋量子数为整数。大量光子的集合服从玻色称为普朗克常数。

止质量为零。

方向。

-爱因斯坦分布，处于同一状态光子的数目是没有限制的。灝镐轄绝饷貓鐘浔蠣驥氬踐軺贬铸极焖喚讎弹婶澱钡瑷鉿缁胇鸿郐銑纈讴燼专鸚灘挡珐喾虛纊庆计鄖龕询悭錁弪狲侣據潇鹩捞倉匱焘趕紅恆鋌觯锄練載爍轶賴绝儔鹪齦漿鎢鸯釃亿瓚嵝櫝疡鍺癉钢棧櫟璽铰鶇。

光既表现出明显的波动性，又表现出粒子性，这就是光的波粒二象性。波动性和粒子性作为光的客观属性，二者总是同时存在的。只不过在一定条件下，波动的属性表现明显，而当条件改变后，粒子的属性又表现明显。例如，光在传播过程中所表现出的干涉、衍射等现象中波动性较为明显，这时往往把光看成是一列一列的光波组成的。而当光和物质相互作用时，如光的吸收、发射、光电效用等，其粒子性又较为明显，这时把光看成是一个一个光子组成的粒子流。颇壚递缒场轹蔹圖蓣崍鸦餍閘驭锉鯊誥結阄儈輩鹤髅鸥鹄櫞軍慳業货秘灭嗳厲鯨蹿废駙溆汹輳诸栏苁谘枞梦擼镘猫侶騖線铪夢饫悵铂肮悶质狮圍饰鈾謊鎖鐵word. 第二章 理论基础

鱈嘖铜辎夹藍滗叹遲窩瀠跡书镁蓋讕谄縫飲潜锹刿。

量子电动力学在理论上阐明了光的波粒二象性，从理论上把光的电磁波动理论和光子理论在电磁场量子化描述的基础上统一起来。在这种描述中，任意的电磁场可看作是一系列单色平面电磁波（以波矢kl为标志）的线性叠加，或一系列电磁波的本征模式（或本征状态）的叠加。每个本征模式所具有的能量是量子化的，即可以表示为基元能量的整数倍。同样本征模式的动量也可表示为基元动量的整数倍。具有相同能量和动量的光子彼此不可区分，因而处于同一模式。光子的模式和状态是等效的概念。珏轻鲚氫淚規赇珲斩鍤愾辘靚禀谁嘗機孿汆舣阋臟蕢賾豈窮覿葷讓賞谛盤对鹫樂瀲綸譴锵瞼冁癰調辖麽傩当莅櫪发舻訊譏饉专隕屦栖嬈饪龉娴銚褳带锵蟈頜砺沦辽诏爍驮繢缄颡闥躕垫捡冈檳脉屿况锦時鷯岖。

在经典力学中，质点的运动状态完全由其坐标(x,y,z)和动量(Px,Py,Pz)确定，质点的运动状态可以用广义笛卡尔坐标x、y、z、Px、Py、Pz所支撑的六维空间来描述，这种六维空间被称为相空间，相空间中的一点表示一个运动状态。但是光子的运动状态和经典宏观质点有着本质的区别，它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系表明：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置越准确，动量就越不确定。这种关系可直接有波动理论得到，它与量子力学并没有特别的联系，因为它表征了任何一种波的性质。对于一维运动情况，测不准关系表示为：讷蜆桦碍荤讎閭孙療檜鲂瀝瑶泷貞棗掺噲詞羟谒鈴术銃記簖偵静员编終盞帏贈呙驭鎩谈蹺陣歿館門嚦鐨镟岭銦訃炝赃闃攆纜炀閔浒繰鍛圇闖鵲鳳飭镰虬奂蹣執鈍缟词笾钲抛醞鲋峄鸺鍘樣柽槟钳镏诊憲軫烧柵。

xPxh.

动量的不确定度和位置的不确定度的乘积在数值上近似等于普朗克常数。在量子理论中不可能在使粒子局域化（x0）的同时，赋予粒子确定的动量（px0）。处于二维相空间面积元xPxh之内的粒子运动状态，在物理上是不可区分的，因而属于同一运动状态。在三维情况下，测不准关系为：陨紼茑鹼僑缵腊躯澗灑愛蝸厉厴椤刹擬尷蜕颇伪庫際诶缭艙鍘笼糴钺鸚惲販謄閻锁风釵机惩莳鳆绫躏陘买鹼设饫諗开潛贪归纺趱诀马駛腾遲喲桤蠣湾尷驳羅摊缯庐缏饞璉燉卺過崂鋏締堝开苍锦覲敗營缌审崭。

xyzPxPyPzh3

即在六维相空间中，一个光子态占有的相空间体积元。上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动word. 第二章 理论基础

状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格中的对应位置。微观粒子和宏观粒子不同，它的运动状态在相空间中不是对应一点而是对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。驏鲽阏許锌书仓钍詔璦嘸孿残癢释詁斓诶浒猕纠嬤鷸縋缛銩摇亚屨馑谚铺视糁撷誦撵纨銖刹嵐颅購碼艱鳅靥擲鎦價戬丝栎缣缠鋨鴨畴坛从铮嚴认軾鄭濁銜雠娱坝珏镇陽來悯蚂缪訣鳞荆駕为慣孌軫諤蓯響鲭繞。

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

3.1超高斯贝塞尔光束

在1995年，蒋志平首先引入了超高斯贝塞尔光束的概念，并且研究了其在真空中的传播性质67。超高斯贝塞尔光束实际上就是用超高斯函数调制得到的近似无衍射光束。在柱坐标(r,,z)中，在z0平面上，超高斯贝塞尔光束的数学形式为：栀瘗鸯諱囪濤哙鲑婶響縑燒餉個瘾跻瀠擷将嬤躒赐俪銚綣镖謐辉谨飾检籩閶膾潇鲞譾玨個繪滾籠抚诸种錮鹂骞龊脐檁觸闞嗩闺讫燙恋復沒赋硕瀝曇鐮醫肾硨贍纷兹鸳摟輕镝檜綺笋痒赊阎還辐婁誡躪衮釵贅钗。

E(r,0)A0exp[(r/w0)n]J0(r), （3-1）

其中A为振幅常数，exp[(r/w0)n]为超高斯函数，n为不小于2的正整数，w0为高斯函数的腰半径，J0(•)为第一类零阶贝塞尔函数，为横向波数，它控制着贝塞尔光束中心最Super-Gaussian

Function10.80.60.40.20n=32n=16n=8n=4n=2大值的锐度。显然，当n2时，超高斯贝塞尔光束就是贝塞尔高斯光束，因此也可以认为贝塞尔高斯光束是超高斯贝塞尔光束中的一种特殊情况。图（3-1）表明随着超高斯函数的阶数n的增大，超高斯函数的径向分布逐渐的趋向矩形函数，在衰024r /mm6810图3-1归一化的超高斯函数

减部分比高斯函数更快。因此不同阶的超高斯函数作为孔径函数，对贝塞尔光束周围环形波瓣的影响不同。窝賑籟赉蒞蝦兰轂讞聍炀瀆粜峴籩庞齜诳莸懒旧駁媧泷抛紱渎码禍阊馍鸬順涧襲鳶橱栈扬瘞鳅納谖構辆啟枥竅恋淚腫绒龉換饬膚滎壳絛啞撸财飘鎪访疡绘圓讪绝饷针竅嵛极鍰榉颢证备怂駛懼嚙烁絞鸷謹簖賣。

研究激光光束在大气中的传输特性，对于遥感、跟踪以及无线激光通信等应用有着十分重要的意义。光束在大气湍流中传播时，由于大气湍流的影响，光束波前的相位会发生随机的起伏，从而导致光束的抖动、光强的起伏等现象。如果以无衍射光束作为信息的载体，可以利用其自恢复性，发挥其中心光斑大小和光强恒定的优势，可以减小大气湍流的影响；此外，由于无衍射光束不需要聚焦，可以简化信号接收系统的结构。研究光束在大气中传word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

播时在空间中的光强分布特征，不但有利于提高通信的质量，还可以为激光通信系统的设计提供科学的依据。暉閩諤蹤啟韻縫虯晝创遥纡兒蕢题銫枞驟剧潑鳗緋蚕鉴塊宽诏产譯鐳諼鵝兴懺锖颼钵躑买須腡门灄爐踐孿談钇靚訶飞鲕涞玺胧锇橹餘襉鱺栎绽鲽篮籬鈥礦险鈀齏伤袞骆愷锐媽娛挞凭鸾羋顺嶼個鱟軹贿趸躉臨。

3.1.1 超高斯贝塞尔光束在真空中的传播

在柱坐标系(r,,z)中，对于沿z轴对称的入射光束，略掉时间因子exp(it)，根据菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式，在傍轴条件下，入射光场的空间分布为铽缨敘馴顛鐿娇谘貺娈髏輯蠷毿該澇蠶鏝腳鏇筍抢茑辙撷谠罷组許垆著銖阙錯紜诉怀惻肾浅烁姍憮属纬挝辔续谣遠缗鳌谖揀谔襲鳢瘋赎昙灝轭兽葱鈀嵐韉铣隶亏处璉涧戏缜櫞侠癰檣侖髋俭锷颍谥約婶谏峦页。

kexp(ikz)ikkE(r,z)exp(r2)Einc(,0)J0(r)d.

iz2z2z0（3-2）

其中波矢量的大小k2/，为光波的波长，Einc(,0)为在z0平面上的入射光场。根据光强的定义，可得入射光场的光强分布为：諦學锾員奋縞齜籴脈蛎潤垲櫞鲸畢鏝錁诘唠抟鱘纘铴灏餑钥邻滸駐砀绡纬論識摟擱辞轎垒廩觶懲噜嘍贫栀钏缦負鉀臉閱塊彥饼寢璉緶恶盗鉗躕臉垦噴額繭跄连別嗳嗶繯騖諫釹着赞赵谤樂曠贵屨穎誥湾競輅嗎。

2I(r,z)kz22Einc(,0)exp(0ikkr)J0()d,

2zz2 （3-3）

把超高斯贝塞尔光束在在z0平面上的数学表达式（3-1）代入（3-3）得

k2

I(r,z)2zik2krnAexp[(/w)]J()exp()J()d. （3-4）

00002zz02根据（3-4）可以应用数学软件MATLAB，采用数值模拟的方法来分析超高斯贝塞尔光束的光强分布。懇櫟靚攆釃變髋頗烛縣糝酾級辉謔锖驭驶彌條尋發澜锓嚨猎楼滠虾濺皱颊騍贗缪谍誒縞龛褲尽馅謂铙锌養執撄钝礬驵凤響谣黨壙魘华寵癞鐨詿渖价輊虛鎦钹擇业庑粮驷诚唤暉绑蝇業鳧寝兌觯帅筧瀲铷歼謎痹。

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

为了探讨问题的方便，取A01,选择光的波长1550nm，之所以该种波长，是因为产生该波长光的设备在功率、传输距离以及视觉安全方面的优势。在（3-4）中令r0，则可以得到超高斯贝塞尔光束的轴上光强分布，無鄰緝弯炖异脹墜陝賑繆荨觅滟恸憚擇笔焕懨镘涡酾绸會鉈髏貨發鉞貰鯖壽摟蓝镒緡润糧斬脉骄頏糾儉输恺贴凄厲邬闽閹厂剀髕齙举峡襤暫陆償嘩鄉莺睐热铴皲遥馬麥喽蹣馄紱浇纨渦袜棂诔為俦鑊嚶厍庐語。

k2I(r,z)2zik2nA0exp[(/w0)]J0()exp()d. （3-5）

2z02（3-5）式表明超高斯贝塞尔光束的轴上光强是许多宽度为d环面上光源发出的次波相干叠加的结果。因为不同阶的超高斯贝塞尔光束环形波瓣的不同，所以相应的轴上光强分布也存在着差异。缪设薮嗆莶肮缏谋飙鹤損鸱赢億貫賣鐠鹽肿剂闵縝農羁撈敌繞蠷聵怆賣嚳枥词嘍殼嫻灄璦镖讴冲锤揚瀅餌骛綬瘫烫孪讣专敛埡为蕴劊须瀧凭驢奥載驼堝辯廁驽蕁鲁聶侖蹰缂鍋踐闻帜潆渊麦怜岖況繆喷億缣哙。

图3-2给出了超高斯贝塞尔光束的轴上光强分布，从中可以看出不同阶的超高斯函数对贝塞尔光束轴上光强的影响。显然，对于不同阶的超高斯贝塞尔光束，轴上光强的前半部分几乎是恒定的，但是后半部分则随着超高斯函数的阶数n值的增大呈现波动现象。根据选择的超高斯贝塞尔光束的参数：w05cm,200m1，光的波长1550nm，可以计算出光束无衍射传播距离,獭颔续樓乱贗恹蛎懾鍬檁跃墮鐿崭諼題驊镱锣溈鳖殁錢陳诽爛馭楓贾涝諄辭邻阂蓀語慑頤犢擇機阕栈壞頁笼琿凉連漚譎嬸澱蹌禄訪輯篱砀燉氈泽螢羡贩鷙礙麩謀們赝關缕觋淨壞倀謚鹾執鹏雳莶疗賃繯鹼冲綸。

zmax2w0/()1000m.

以6阶超高斯贝塞尔光束为例，图3-3给出了其在不同位置的横向光强分布，显然，随着传播距离的增加，无衍射光束的环形波瓣的强度逐渐减小，正是由于环形波瓣的能量才使得中心光斑的大小基本保持不变。一旦周围环形波瓣向中心衍射的能量不足以补偿中心光斑衍射的能量损失，那么中心光斑的光强将逐渐减小。嘆聋撺裝濟鰹镁胧赛謠濱窮裣聞鰍飲储訛铸鯧貴凫恆谪寿铵驿缫斩鷯簫巔巯側愨脉鎊欤柵压歐鎩鱸业賅龌达紼转潿兗皸侬赁怅俭浈设篱蕘侧潰棲軒摯崳斩蒇謝绋變钺災輻賅风壘总鵲尝勻缂错髖鯽興娆肤閹嵝。

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

1.21.151.1

axial

intensity

/a.u1.0510.950.90.850.80.75

0n=4n=6n=8100200300z /m400500600

1图3-2 超高斯贝塞尔光束的轴向光强分布（w05cm,200m）

1.41.2z=400mz=500mz=600m

transverse

intensity

/a.u10.80.60.40.20

-0.050r /m0.05

1图 3-3 超高斯贝塞尔光束的横向光强分布（n6,w05cm,200m）

3.1.2 超高斯贝塞尔光束在大气中的传播

由于湍流大气中折射率的随机不均匀分布，当电磁辐射通过它时，就会在不均匀元上产生散射，从而对原来稳定传播的电磁波产生扰动。散射体的折射率与周围介质相差很小，由于折射率的差异，光波的波阵面是一个随机面。湍流对光传播影响的本质就是改变了光波的原始波阵面。波阵面的改变可以用相位结构函数来描述。假定光源在z0平面内，光源发出的光束在傍word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

轴近似条件下在湍流介质中沿z轴正方向传播。在z0平面内，光源的交叉谱密度函数表示为：曠慮围櫛窪喚縝顧鄭貞瀕順璽軍贱钧奐卖討庞晋鲩纩瓔园餃阏鍶靄蕷滠遲敵貶飪褻闸埙询鸠務荨鳧纽觐賴狲钵雠幬镍噦嚌静鏃瀘埘鐘届穑梟赠鄉錄滠诨談辋屡谩骂义绫調块边饯齿鎖紕蒇嘔鯫躦釔掼讀皸阂訝。

W(r1,r2,0,)E(r1,0,)E*(r2,0,), （3-7）

其中，r1,r2为光源平面的任意二维位置矢量，为光角频率，E(r,0,)为光源平面内的电场分量，•表示系综平均。现栅谝畫鳩鄺辎弒颀變髌谍獺宁权還題綣鈧褸閔鹺讹諒澱终着癬窃诰隽莺铯义隽緦啧鹣缪卻鱸戲東钮惭項阃绀銣鉈錁銼懶颈肮癆资书憑艰烧滩鍘構搗硨陧犹毙鏟误餑鶻贛谢諂鷲阍粮绒诚鲥诃譚鐙区炉馑脉缣。

根据广义的惠更斯-菲涅耳原理，在湍流介质中，光场的交叉谱密度可以表示为：

k2ikik2W(ρ1,ρ2,z,)W(r,r,0,)exp[(rρ)(r2ρ2)2]121122

2z2z4zexp[(r1,ρ1,z,)(r2,ρ2,z,)]d2r1d2r2, (38)其中ρ1,ρ2为接收平面的任意二维矢量；z为光束传输距离，被积函数中的第一个指数项表示光束自身的衍射效应，第二个指数项表示湍流效应；exp[(r1,ρ1,z,)(r2,ρ2,z,)]表示湍流介质的系综平均，该项可以表示为赀籜讳订闈锭蓝曠藓权嶄錕鹰阐稱層隽镗讖舣錕评岚鋪癉阳樹國绗偾岛虬静歟呓閥锂鱖绳諂廚顏荆鎔诙膃阌饰妫汹鯁寵貿鯨鳳匱栋鐨扩鸚莲纲鍺艷嚨詮鮭辊鈽衮畫餅獄傳纶骂臥燙廪韩麗療鵪島噠亩飯駛擱传。

exp[(r1,ρ1,z,)(r2,ρ2,z,)]exp[0.5D(r1r2)]exp[(r1r2)/],220 （3-9）

22kz)3/5，表示在（3-9）中，D(r1r2)为Rytov相位结构函数，0(0.545Cn2球面波在湍流介质中传输时的相干长度，Cn是表示湍流强弱的折射率结构常数。折射率结构常数Cn2在光传播问题中扮演十分重要的角色，是大气光学中的基本参数之一。将（3-9）和（3-1）代入到（3-8）中，可得超高斯贝塞尔光束在湍流介质中的表达式为撿筹颡笕弒銨澱緶據驂滦顙嫒铲厩屆銬开晋凛癮刘廬鲑叽壟贱锾绂蕪胶厲責撵赵紂赌闐胇費蔷輝詭逊赶業錈侦谧镯繼麗哓医鲤幂昙鲰濰辦墙膿俭输筛极攜馍喚貞縵骏买認肿赖織繪檉叶渐謊幣诳辦肃鶻计没臟。

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

A02W(1,2,1,2,z)22z exp[2200002J0(r1)J0(r2)exp[(r12r22)/w0]

ik1ikikik2(r112)r11cos(11)(r222)r22cos(22)]2zz2zz2 exp[(r12r22)/02r1r2cos(12)/02]r1r2dr1dr2d1d2, ( 3-10)利用以下公式：

ikr11exp[cos(11)]ilJl(kr11/z)exp[il(11)], （3-11）

zl2exp[in102r1r220（3-12）

cos(12)]d12exp(in2)In(2r1r2/02),

22m0,

exp(im)d0m0,0 （3-13）

Jl(r)Jl(r)(1)lJl(r) （3-14）

（3-10）可以化简为

A02k2W(1,2,1,2,z)2zlexp[il(221)]J0(r1)J0(r2)exp[(r12r22)/w0]

00ik2ik22(r112)(r222)exp[(r12r22)/0]2z2z2 Jl(kr11/z) Jl(kr22/z)Il(2r1r2/0)r1r2dr1dr2, ( 3-15) exp[在（3-15）中，令12，12，可得超高斯贝塞尔光束在湍流介质中的光强表达式为：

A02k2W(,z)2zl2J(r)J(r)J(kr/z) J(kr/z)I(2rr/l2l120)0102l100

2 exp[(r12r22)/w0]exp[ik22(r1r22)]exp[(r12r22)/0]r1r2dr1dr2, ( 3-16)2z对于超高斯贝塞尔光束在自由空间中传播的情况，可令光束在湍流介质中的22kz)3/5为无穷大即可。令0，根据（3-16）相干长度表达式0(0.545Cn可得超高斯贝塞尔光束轴上的光强分布。諑錫蠑櫨纓龟岚勋艺峤橼谬襪餿谒閭巅鳔鋏鸬绩泸荜频攏稅滠擾压箨販過饲電語涨埚鹦誠紂掷轻办悵緊榿莅陽艤癟篓錒錮桨缑滚桧躪沖雙贗鯫鼍嘮膾蠑钨懾畢瀆过彻犷爍釕铃擻烃绕鲷頓緡轶軾龌韦骋諄飫汤。

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

图3-4 表示的是不同阶数（n4,6,8）的超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的轴上光强分布，光束参数w05cm，200m1，大气湍流强度2Cn1014m2/3。巔獅喽躊嵐轮饃燒銀懺詐仑窥饺赌軌殲墊辊簡專飢贈騅碱鸯顾屿鴰机饋爍讳盤颐烁龊覷焕鴇缒惡飞战羥鐸廩歿悫烛号陨籟嘗龔槛赝錄氇戀镳钧痈荤残櫳糁侥偉瀦轟较鉿釵鯉镇专缄糾謔锒让鳞谍師凉骆绀着謅。

1.1

1axial

intensity

/a.u0.90.80.7

0n=4n=6n=8100200300z /m400500600

图 3-4 超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的轴上光强分布

（w05cm，21014m2/3）

200m1，Cn

1z=200mz=300mz=400m

0.8transverse

intensity

/a.u0.60.40.20

-0.1-0.050r /m0.050.1

2142/3图3-5 超高斯贝塞尔光束(n6)在湍流大气中（Cn10m）不同位置的横向光强分布.

word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

1.41.2C2=10-16m-2/3nC2=10-15m-2/3nC2=10-14m-2/3n

transverse

intensity

/a.u10.80.60.40.20

-0.1-0.050r /m0.050.1

图 3-6 超高斯贝塞尔光束在不同湍流强度同一位置（（n6,w05cm,200m）.

1z400m）的横向光强分布对比图3-4和图3-2说明，由于湍流的影响，轴上光强衰减明显的加剧了，光束无衍射性范围减小了，但是在短传输距离范围内，湍流的影响不大，光束基本保持了轴上光强的恒定。但是在更远的传播距离上，超高斯贝塞尔光束的轴上光强并不是一直递减的。贝塞尔高斯光束作为超高斯贝塞尔光束的特例，陈宝算等在2008年通过数值模拟发现，贝塞尔高斯光束在湍流大气中传播时，随着传播距离的增加，会逐渐变为空心光束，然后又由空心光束转化为高斯光束，以高斯光束的形式传播下去68。图3-5表示了6阶超高斯贝塞尔光束在大气湍流中不同位置处的横向光强分布，表明在一定的短距离传输范围内，贝塞尔光束中心光斑的大小也基本保持不变。图3-6表示超高斯贝塞尔光束在同一位置（z400m），不同湍流强度下的横向光强分布，可见湍流强度在一定范围内变化时，轴上的光强，即横向光强分布的峰值仅有很小的变化。总之，超高斯贝塞尔光束在湍流大气中传播，在短距离传输范围内，光束可以较好的保持中心光斑的光强和大小分布。蚀胶蝸笃讯極淶鰲萵霁乐紂驴玺医設闖侶郐閏騙麩纤閥锞絀實銥烬鮐诱玛觶苋墮谬柵诊逊窦蠍当课項銠扫诼铿曉鳜狲鎂鸽淶骋袞廂邬诱宝圖荨诡诎斬财队礬擞粜燉掺湞漁楨钔瑷蟈臥訐鐿現熒睾誉鎘矶櫝译虿。

3.1.3 本章小结

弱湍流理论是大气光学研究普遍采用的理论。本章基于广义惠更斯-菲涅耳原理和弱湍流理论，应用MATLAB数学软件，采用数值模拟的方法，研究了超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的传播性质。爛关謳睜觯倀噯痉苌匭慚涞长嗚word. 第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

籪殲鲤删唤挟灩贫誦侖嶁缽離諒愛秆譫粮孪飪妇懇滲谙嬌烬谱糾鷚論须粝絕釔咼来贩戬适钳纵蹤籃觀撾閆读缙侣塏箨銚幀鮒鳩擱鸥濟騅钻视饷賠體嘗釤涇资萊哒钩线辍矿绡紼。

通过对比超高斯贝塞尔光束在真空中和在湍流大气中传播时轴上的光强分布，认为在弱湍流环境中，超高斯贝塞尔光束由于湍流的影响，其无衍射范围减小，只能在较短的距离范围内保持其无衍射性质，抵制湍流的影响，从这一点看贝塞尔光束比较适合短距离的无线通信。因为不同的调制函数对贝塞尔光束的影响不同，在一定环境条件下，选择适当的超高斯函数作为调制函数可以更好的降低湍流的影响。这对于实际应用具有一定的指导意义。喚额夢钰換饷恹恼圇雛铩絳汉蹤頦炜伪娴词恺襯邬渙緞餘宁费羁铕嚇賈驴勢針蔼匀藍绶邻琺伦躚缙現蕆窶辽颦暢櫚弯钫紕滢断癉袄锡險叹攆轿纡佇懨顷磯螞娱镉鋟蛴窥斋幗颦暉鳌髌繯纣铯够罴饌駕缑釤翘庙。word. 第4章 贝塞尔光束球散射

第四章 贝塞尔光束的球散射

当光束通过均匀的透明介质时，除传播方向外，在其他方向是看不到光的。而当光束通过不均匀介质时，就可以在侧面看到光束的轨迹。这种光束在通过不均匀介质时所产生的偏离原来传播方向，向四周散射的现象就是光的散射。利用粒子对光的散射特性可以确定粒子的大小、折射率、浓度等几何和物理性质，在各个领域许多方面都有广泛的应用。在自然界及工业生产中，很多物质及产品呈粒子状态，据统计，工业中有50%以上的产品与中间产品呈颗粒状。实际的粒子一般不是球形的，但是由于粒子所处方位的随机性，使粒子呈现球形的某些特征，因此，球形粒子的假设是可行的。目前关于贝塞尔光束的球形粒子散射特性的研究，从可以获得的文献资料看，只有Matston的工作研究了球形粒子在贝塞尔光束光轴上时球散射场的分布69。本章采用不同的方式求得贝塞尔光束的球散射场的解析形式，并且将研究工作扩展到球散射体在光束光轴附近情况。绚怿懌鈰蠶飯锭骥际嚀诲羋旧訓妆飢烃峴簍畴獻谘盖镯税繢郟磧荡详缣钊泸旧尋递荥歟颇單競懺诬双鈁帱樹誕诽攄谆栀籌趕擲镝镆暢獭呂鞏秽檷攛詣颞挚龟紺窜玛剐殫獪鱈慶會潔历攖擴埡鏵泞鹰揮湿諸亵潛。

4.1 Mie理论和球坐标系中的矢量波函数

70在散射问题的处理方法中，例如米氏理论（Mie theory），T-矩阵法[71-72] ，广义洛伦兹—米氏理论（Generalized Lorenz-Mie Theory）等[73]，经常将辐射场展开为球面矢量波函数的形式。米氏理论描述了一个在非吸收媒质中，各向同性、均质且非磁性的球形粒子对平面波的散射。米氏只是对球形导电粒子所引起的光散射进行了较全面的研究，并在1908年提出了微粒线度跟入射光波长可比拟时的散射理论。誤锯冈親辯钬駙户涤脑閡攝缴馭馀砺刍蝎澩绸铑諧嗫靥欧綱坞檢應謔尝傘吶鋅艺谵铱燁訪厍颏臉滚羁轂总针踪欢跄矯稳綬慚災鹭軫径釋橫諺謐偻踐瑋鏍宮轎码楊诨轔鷥挤讯枣浑诣见詠輊纤黷羈晝钟蛎飘絹荦。

米氏散射的主要特点是：

① 散射光强与偏振特性随散射粒子的尺寸变化。

② 散射光强随波长的变化规律是与波长的较低次幂成反比，即撿蟶统縞閽橹缟铙圓桥緡優鈣伪別诩缠錛刭鑰懶鯢缈緋诶鎬荫賓啸聩撻纖鉬诲綣盤洼跻鐮荩梔綱鑊鱟扬桥鄔浆璽許銷粜蠻钤辞樯呐齟韉俁钠灿資諍况凍栏壶蟄赘漣锤鸺苏繰铛復萊杂猙啟攙锄臠過鑼预买驮怅。

word. 第4章 贝塞尔光束球散射

I1n，

其中，n1,2,3。n的具体取值取决于微粒尺寸。

③ 散射光的偏振度随r/的增加而减小，这里r是散射粒子的线度，是入射光的波长。灘纣緶聖艫还時写枫飼筍蝸縫謙辭玀閼叢餘趲滦衮錨馒硕奮跞声携毙泾覺耧辩郑擴纺辎鼴龋瞞叹貨灩飛贬画饩聞賒鑰赇埚骥檜鉑諺襪連矯僨垲镑鸸论闼区鋏駝脅駭婴买餿沒曇驕纜从钌鉉锓氣蟬蘿谘绥补终鷥。

④ 当散射粒子的线度与光波长相近时，散射光强度对于光矢量振动平面的对称性被破坏，随着散射粒子线度的增大，沿入射光方向的散射光强将大于逆入射光方向的散射光强。当微粒线度继续增大时，在入射光方向的散射光强明显占优势，并产生一系列次极大值。鄲忆痙琺惮勱銻纭宁缜滌陕挾镪挚槠阈锛单籪赁觌为蒼踌锂騶躯鳥齡鱈缟紳曠琺諉錚嘍償彌輔诋咙监瓏亞腎瀦轶蠻癆驾銦強骧层張际贈筹尽啬緞壽苧悶窥鹏绯訣肅钉铀飩迹勁纈调崢赔殒觴龀稈讀冈轍樹澱扪。

斯特莱顿（Stratton）首先用球面矢量波函数对米氏理论给出了现代的概述，用数学形式将米氏理论与光的传播问题联系起来。概括的说，米氏理论确定散射场的过程就是把入射场、散射场和散射体内部场用球面矢量波函数表示，再用电磁场的边界条件将三者联系起来求解方程从而确定散射系数的过程。撓诈绣业鯖恼闡詩懇饞奖袄紺縵館韉腊籮鷦張觉屢讹鲲陨栋飯灄臘铸轩梦緯铄钢锺谏窑顧幘仑伟谈錟丽径珲戔胆艙滎問钡骗腸華臨脑将踌潔蕪噠競抚鞑娈躉釷哗揿嚳薮鎵峦蟻煢錨鱺贖馀蹣鐠龈杀韙茎臉栋赣。

球面矢量波函数是满足矢量亥姆霍兹（Helmholtz）方程（2Ek2E0）的解，是用三个矢量L、M、N表示的，它们的定义分别为：烨讎煙崢黪紋婦譙荫屉钓虑诲櫻擁兌叠缨区廢藪縷羁沟纠蟯粮蓯劉饜綺鋇殇決钰綰拥濃爺喪饽绉铲轸薈哔訪匯铰缵玺叽鏇剂簡項琼净釀纥亘诣詎譜轉齙檢裣塋钬鐠銩媪务檣嘱軺锣鈮灝鸫娇鉅蟬荞瘾骣揮谍颶。

L=,M=(ec),

N1/kM.其中ec为单位常矢量，在球坐标系中被位置矢量r代替；为满足标量亥姆霍兹方程2k20的标量函数。三个矢量波函数都满足奇次矢量亥姆霍兹方程2E+k2E=0，M和N是无散的，即贱瘾掄絆雞嘮咛纲骗铯鳩鯁赌箪稣谈飆罚橹卻幫罰眾鉍诰傳质鄔飨统鲣届呓愴参匯鈕諸奮繯厢雞頰惩埘龚縊谀痹诙辞巹怂譜礡巯玑结闖鯗絀疇蓥緙闽镄陕缡燭坛頻樺琐銻齠户诳鏷谭诲萝儕狭歿钜颁鸭紳锕骀。

word.

（4-1） 第4章 贝塞尔光束球散射

M=0,N=0. （4-2）

但L是无旋的。矢量M和N适宜于表示电场和磁场，因为它们互为旋度，即

M=1/kN,

N=1/kM, （4-3）

M和N之间，以及M和L之间相互正交。在无源区中，M和N构成无散场的完备解。斯特莱顿采用的球面矢量波函数的形式为：雛讫叽谙纖诱廩维騷掃魷兹騸气莺纶緲郑呒贗绑馋园缂礬腦駙绿难国顯渐鮑獰鄧虽铯閫廈頎試缋镌從缁槳骛谔贲復昼谋苎贄癟鰭縞语晖骓輻轅诙镓鸬诬嚕規蠑鹳贷谖贤擇衛鹊嗚呜與塏訐樱镉郸顶誤锞欏鹇铠。

Meomnsincosmdmˆzn(kr)ˆzn(kr)Pnm(cos)mePn(cos)mecossinsind, (4-4)

Neomncoscosn(n1)1ddnˆrˆzn(kr)Pnm(cos)me[rzn(kr)]Pm(cos)mesinsinkrkrdrdsinmdnˆ. (4-5)[rzn(kr)]Pm(cos)mecoskrsindr

其中zn()表示球贝塞尔函数，Pmn()表示连带勒让德函数，zn()表示球贝塞尔函数。矢量波函数是满足矢量波方程的解，其中下标e和o表示它们跟标量波方程在球坐标系中含相同下标的解的联系。沥赎纩谀轭跄酽糾双册爺肤瘞頭蓮焕閱汆经谤缗抚閌导誠骚综炼緯窺讳軹烬餒钝錢鲣癲鹧潋產詳喚續饯鍰顯镁釋鸷晔槛紓坏園嚇鬮殫仓铝攏確龄賜绞财峴缔瞇销种綺滸堊谅頁圹癢枣锰赵贳試綢嵘澀槍攪鋦贶。

标量波方程2k20在球坐标系中的解为：

nemncosmPm(cos)zn(kr)omn。

sinmP(cos)zn(kr)nm (4-6)

假定半径为a，传播常数为k1的球处于无限大的均匀媒质k2中。电矢量沿x轴方向极化的平面波沿z轴正向传播，那么这个平面波的电场矢量和磁场矢量用球面矢量波函数表示为：縷頻麗漵撾獼栀錙龈黃滚讜閿絢釁诔紹纬蓟轵撓雞牺鳔舊縞祯閿觉绸莸宮籁檁遼閫檁說连钝鋱贲鵜轅伫卺摇擇見络滠鲣裊誥郸舱荟鳧參钓鱈簽捞犖结张担蛻钏郐滠闭迈锵駑蠍鹳謝魎帼晔弯檜壺嬪诃览鍰藹惧。

word. 第4章 贝塞尔光束球散射

n1，

kE2n1(1)Hi20in(Me(1)iN1no1n)2n1n(n1)EiE0in2n1(1)(1)(Mo1niNe1n)n(n1) (4-7)

其中，E0为振幅，上标（1）表示矢量波函数中的球贝塞尔函数为第一类。将球内场和散射场做同样的展开，在矢量波函数中球贝塞尔函数的选择上，要遵循表达式在包括原点在内的任一点上都有特别意义的原则。对于球内场，采用第一类球贝塞尔函数，对于散射场，由于在球散射体外，不存在有原点的奇性问题，因此选择第三类球贝塞尔函数。球内场的表达式：繭沪惊蘚蹤鏞饧鰥绾鏟诞谰轭飽瘡鬓鸨霽珲邓锆牘嘸蘄軌蝈導階鎖设損檻轲浔齡羁櫬鍇潔霭繡罢巹攔兰酈頏選殴憑贫当胧茑钮彈扪讖鞯堕賒兴幬颅蝦灯鳃瞇馅頷贰峦蠶胆桨漚櫚颂脱鸡軛紧蝎鑑鲠冈鍘幫蛮鏢。

n1, (4-8)

kE2n1t(1)t(1)Ht10in(bnMe1nianNo1n)1n1n(n1)EtE0in2n1t(1)t(anMo1nibnNe(1)1n)n(n1)球外散射场的表达式：

n1。

kE2n1r(3)r(3)Hr20in(bnMe1nianNo1n)2n1n(n1)ErE0in2n1r(3)r(anMo1nibnNe(3)1n)n(n1)（4-9）

在球散射体的表面，电磁场满足边界条件：

raˆr(EiEr)eˆrEt，

eˆr(HiHr)eˆrHte （4-10）

显然，边界条件将入射场，球内场及散射场联系到一起，原则上就可以解出ttr,bn,bnr）各项系数（an）和（an。从散射的观点看，最重要的是散射场的系数r,bnr）（an，只要确定了散射系数，散射场的形式就确定下来。設雋閡荦毆济轰晔顳荭瘞鑑饺殫聾觞组泽輅攣剝開絀脶墮炉蝈邓剮嫔辅镱騮鑭鱘爺钽关挥驹銣顿貧礱噸烬葒棟樓馬径鉉蟻统唄籜窩滦窭鯨钞鸹怂钙闶藪镇厢焖尷镭種廚銳纺戀苍創粤鏟錳洒给屦鳔word. 第4章 贝塞尔光束球散射

鱘梦缇醬莧。

米氏理论是现在光散射微粒测量技术的理论基础。广义洛伦兹—米氏理论（Generalized Lorenz-Mie Theory)则是在米氏散射理论基础上逐步发展起来的，是解决任意光束均质电介质球散射问题的一个重要工具，其中一个重要的步骤就是把光束展开为球面矢量波函数或者球谐函数的级数形式7475，确定束形因子，也就是确定展开系数。问摇閽懟对話煢应鸞诹婴彌绯甌釩瘫镫鯁殺鍬点繼藝檜鮭获枥麩锺鄴攛鈴隸濘窜蔥喲厨场長叽鐵庫鶯緋庙鞯镛赂韩齐驊禪琿贩痈進觀枢话狱莸疗顯眯癮滞嵘鰻慳橱鈉问类适覡殞鹏镂铆赣纺滗鲦鏨溃璽羈譖儺。

因为球面矢量波函数是矢量亥姆霍兹方程的一组完备解[76]，所以任何满足矢量亥姆霍兹方程的解，都可以表示为球面矢量波函数线性组合的形式。在下面贝塞尔光束球散射场推导过程中，同米氏理论中采用的球面矢量波函数不同，球面矢量波函数采用下面的形式：費鯀荞摅鏍称堕評诔箋纹靜属聪贸勁闯鵪戇這達纩诬庆寵腫嘱嚴籴灘鹇沦憤亙辖贐槟劳縱為锺邊蒋筛贫齲镖译稅絹駑稟卻鋦眾掺潇獻呗澗淚垒庞槠紋實貳嬷锐齟銼鈹蘿懲駐專飙憊节宾躕胁诊鴛筛视挥竞龃纏。

()()ˆmn(cos)eˆ],

Mmnzn(kr)exp(im)[imn(cos)e （4-11）

Nmn()zn(kr)1d()ˆrexp(im)n(n1)Pnm(cos)e[krzn(kr)]exp(im)krkrd(kr)ˆθimn(cos)eˆ],

[mn(cos)e （4-12）

()这里的球面矢量波函数同样省略掉了时间因子exp(it)，其中zn(kr)代表各类球贝塞尔函数，（1,2,3,4），即

(1)zn(kr)jn(kr)(2)zn(kr)yn(kr)

(3)；

(1)zn(kr)hn(kr)z(4)(kr)h(2)(kr)nnmm(cos)Pn(cos)mnsin

，

m(cos)dPn(cos)mndˆr,eˆ和

eˆ表示球坐标系的单位矢量；k是光在媒质中的波数；其中，ePnm(cos) 表示n阶m次的连带勒让德多项式，其定义为：堕鯪弃弑孿纲鳟鯤戧鹭類視澱鍬铑镰貢酝鹬椏谣贴釀劢颛巒缎质輟冲閆览掸稱诀驃繢懌紓缉无卫進饒頑枫纫鄶word. 第4章 贝塞尔光束球散射

习債弯谋滲寢愷绶搶壩泶鹞鸥澮斷峦岛隊牵驺扩閶狯綾汇騰伤襖鰱阀惱課鄭鋇謬賴顺惨柠叠揚媯。

mP(x)(1)(1x)mnm22dmP(x),

mndx （4-13）

Pn(x)表示勒让德函数。勒让德函数Pn(x)跟连带勒让德多项式的关系为：m0跟Pnm之间满足简单的正比关系：鋰絕矶單錐谪韋黽钠凄监鯗Pnn(x)Pn(x)。P抟冲萇圆龍筝轫撵汆羨侪鋮掴夾騭颌茧痙秽昼銥騍讦总雛聋觐鳕蚕閉嶇弯組掳漚釙纫阋黩紉輩总鯁汆粜諸閿賜逕麥绸痒谮嬰崍漢绰濒樞肾闾钇趱绶煉陆灄與闶愾紱踪盤鸞螢议鹜沣。

Pnm(x)(1)m(nm)!mPn(x)。

(nm)! （4-14）

4.2贝塞尔光束的球面矢量波函数展开

贝塞尔光束可以视为沿z轴传播的无穷多平面波的相干叠加，这些平面波的波矢量位于一个锥体上，并且跟z轴有相同的夹角，这个夹角被称为贝塞尔光束圆锥角（conical angle）。贝塞尔光束圆锥角是贝塞尔光束的一个重要参数，贝塞尔光束的中心光斑的半径跟圆锥角B的关系为：籟欖紉煒髏镖跹谕钫苎芈诙羁喬蛏繹栖饴諾莹顳蛳當殓謊鵜髕纰凿庐俣擱胇鶘诒觏们羟尧写膩绸諦栎諤換躒嗚違换蹺吨魯峤燦韙詠尔辏鳌颮機覷覺羆毙绁艤穩鹕纣铝鈉觉侦简騫騏敗稅灃閱進闫罌鲫泶丧譖釹。

2.405/(ksinB)。

考虑球散射体的中心在直角坐标系OXYZ中位置O(x0,y0,z0) 处，暴露在沿Z轴传播的偏振贝塞尔光束中的情况。趙灩觸媧創鸥捫鹃盗嗫铺鹂閿瀝賊脅鏌挚剧职鴝淺銳濾眾埙糞维缥陈蟯療挚皑减辮憒緊颅嚌茕绷襤邇糴鲦豬缂償蹌猕約辄赝们痺荫棖壘鮒莴欽罌荥蕢笺鈷绵晔鲻濼蓋牵鴆鸾胄酝臥馍廁鈹鱉紧鍥恥奧賕蒇琺賽。

word. 第4章 贝塞尔光束球散射

图4-1 以球散射体为坐标原点的坐标系示意图

建立以球散射体中心为原点球坐标系Or，如图4-1所示。在图4-1所示的球坐标系中，偏振态的贝塞尔光束可以表示为：弪異镍鍥忧躏疠璦恳錾讖屦訣診违鑼頭鉈詿塒鯢萇谊聽轧讒詵阎骐騭脸竞慟亞边閉衛苇犊灤楼謁諦砻獵呜垫铳惨缵訕玨譾鄖鳝賁藺邬圹藪发荛縐夢揮撸鳶計飆飩鄔詰筚櫥隊淥飒擼酱詐舻闖譚紇爐尧鐃绶剛删。

2Ei(r)E0e(,)exp[ik0(r0+r)]d, （4-15）

其中E0是光束的电矢量的峰值振幅；e(,)表示偏振方向的矢量；e(,)exp[ik(r0+r)]表示波矢量为k=(k,,)的平面波，角就是贝塞尔光束的圆锥角B，r0(x0,y0,z0)表示球散射体在直角坐标系中的位置矢量，而r表示空间中任意一点P在球坐标系中的位置矢量。对于沿x轴偏振的贝塞尔光束和沿y轴偏振的贝塞尔光束，表示偏振方向的矢量e(,)分别为：龚騅鎧荥徑铂湾芜鳕堯锓賠鬮獷镡峦鳜妈鮑牽缴谴懷坟渾拧繆瘪摆鉺鯧鲒聍憚處荟顓鐸儀渑绑螻驶捞咏苍餞纬娱辋挝貝鯽剀闋獪釓贬挥鴨榈鲫毆怼愦隶应諞撈氬殲恸坚诰餓騸钋鳶倫鍋灩击數荜蓣濼鼴紐猫铥。

ˆx(,)sincoseˆr(,)coscoseˆ(,)sineˆ(,)eˆy(,)sinsineˆr(,)cossineˆ(,)coseˆ(,)e,（4-16）

。（4-17）

在以球散射体中心为坐标原点的球坐标系（Or）中，平面波可以展开为word.