2024年4月10日发(作者：)

(完整版)矩阵法解二元一次方程组专题习

题

题目一

给定一组二元一次方程组如下：

方程一：3x + 2y = 7

方程二：4x + 3y = 10

使用矩阵法解答以下问题：

1. 使用矩阵表示该方程组。

2. 求解方程组的解。

3. 判断方程组的解是有唯一解、无解还是无穷多解，并说明理

解答一

1. 使用矩阵表示该方程组如下所示：

由。


2. 求解方程组的解，可以通过求解增广矩阵的行简化阶梯形式

来得到。

首先，进行行变换以简化矩阵。将方程一的第一行乘以4，方

程二的第一行乘以3，并将它们分别从方程一和方程二的第二行减

去。

得到简化后的矩阵如下：


再进行行变换，将方程二的第一行乘以1/4，方程二的第二行

乘以1/5。

得到行简化阶梯形式的矩阵如下：


从行简化阶梯形式的矩阵中可以得到方程组的解：x = 1, y = 1。

3. 判断方程组的解是有唯一解、无解还是无穷多解。

由于经过行简化阶梯形式的矩阵只有一行不全为0，且该行的

最左侧元素为1，这说明方程组有唯一解。因此，该方程组的解是

有唯一解的。

题目二

给定一组二元一次方程组如下：

方程一：2x + 3y = 6

方程二：4x + 6y = 12

使用矩阵法回答以下问题：

1. 使用矩阵表示该方程组。

2. 求解方程组的解。

3. 判断方程组的解是有唯一解、无解还是无穷多解，并说明理

由。

解答二

1. 使用矩阵表示该方程组如下所示：


2. 求解方程组的解，可以通过求解增广矩阵的行简化阶梯形式

来得到。

首先，进行行变换以简化矩阵。将方程二的第一行乘以1/2，

并将它从方程二的第二行减去。

得到简化后的矩阵如下：


再进行行变换，将方程二的第二行乘以1/2。

得到行简化阶梯形式的矩阵如下：


从行简化阶梯形式的矩阵中可以得到方程组的解：

包含自由变量t的通解为：x = 3 - 1.5t, y = t，其中t为任意实数。

3. 判断方程组的解是有唯一解、无解还是无穷多解。

由于经过行简化阶梯形式的矩阵存在自由变量，这说明方程组

有无穷多解。因此，该方程组的解是无穷多解的。