3D

3D-3D:ICP_SVD

• • 引言
  • 1.ICP
  • 2.SVD
  • 3.非线性求解

引言

ch7.
利用一组匹配好的3D点(比如RGB-D图像)，求解 R , t R,t R,t,使用迭代最近点(Iterative Closest Point,ICP).和PnP求解类似，ICP的求解同样分为线性方法(SVD)和非线性方法(BA).

1.ICP

2.SVD

只要求出了两组点之间的旋转,平移量是非常容易得到的。所以重点是 R R R的求解。

关于矩阵迹的相关性质参考： wiki:迹

code:

void pose_estimation_3d3d (const vector<Point3f>& pts1,//3D点容器const vector<Point3f>& pts2,Mat& R, Mat& t
)
{//【1】 求中心点Point3f p1, p2;     //三维点集的中心点  center of massint N = pts1.size(); //点对数量for ( int i=0; i<N; i++ ){p1 += pts1[i];//各维度求和p2 += pts2[i];}p1 = Point3f( Vec3f(p1) /  N);//求均值 得到中心点p2 = Point3f( Vec3f(p2) / N);// 【2】得到去中心坐标vector<Point3f>     q1 ( N ), q2 ( N ); // remove the centerfor ( int i=0; i<N; i++ ){q1[i] = pts1[i] - p1;q2[i] = pts2[i] - p2;}// 【3】计算需要进行奇异值分解的 W = sum(qi * qi’转置) compute q1*q2^TEigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();for ( int i=0; i<N; i++ ){W += Eigen::Vector3d ( q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z ) * Eigen::Vector3d ( q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z ).transpose();}cout<<"W="<<W<<endl;// 【4】对  W 进行SVD 奇异值分解Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd ( W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV );Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();cout<<"U="<<U<<endl;cout<<"V="<<V<<endl;// 【5】计算旋转 和平移矩阵 R  和 t //  R= U * V转置 Eigen::Matrix3d R_ = U* ( V.transpose() );// t =  p - R * p'Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d ( p1.x, p1.y, p1.z ) - R_ * Eigen::Vector3d ( p2.x, p2.y, p2.z );// 【6】格式转换 convert to cv::MatR = ( Mat_<double> ( 3,3 ) <<R_ ( 0,0 ), R_ ( 0,1 ), R_ ( 0,2 ),R_ ( 1,0 ), R_ ( 1,1 ), R_ ( 1,2 ),R_ ( 2,0 ), R_ ( 2,1 ), R_ ( 2,2 ));t = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << t_ ( 0,0 ), t_ ( 1,0 ), t_ ( 2,0 ) );
}

3.非线性求解

完整工程：

/*** 迭代最近点 Iterative Closest Point, ICP求解 3D坐标 到 3D坐标的转换矩阵(不用求解距离 激光SLAM 以及 RGB-D SLAM)* 使用 线性代数SVD奇异值分解 或者 非线性优化方法 求解* * 使用深度图将 平面图  转化成 3维点* 特征点匹配  得到 * 三维点对 P={p1， p2, ... ,pn}   P' = {p1'， p2', ... ,pn'}* 存在 旋转矩阵R 和 平移矩阵t* 使得 pi = R* pi' + t* * 当在激光SLAM直接使用 三维点进行 匹配(距离最近)得到3D点对(激光数据 特征不够丰富，匹配得到的点误匹配的多)* 求解方法为  ICP  Iterative Closet Point  迭代最近点* * 【1】 线性代数求解  SVD奇异值分解方法* 误差    ei = pi - (R*pi' + t)* 最小化误差和 min (sum(ei^2))   ; e^2 =  (pi-p - R*(pi' - p'))^2 + (p - R*p' - t)^2得到 R t *  (1) 计算两组 点集的质心位置 p  、 p‘ ，然后计算每个点的去质心坐标 qi = pi - p    qi’ = pi' - p‘*  (2)  min(sum(qi - R * qi')^2)  >>> 得到 旋转矩阵R  *  (3)  有R计算 t   t =  p - R * p'* * (qi - R * qi')^2 = qi转置 * qi   - 2*qi转置 * R * qi  + qi转置 * R转置* R * qi  第一项与R无关 第三项 应为  R转置* R = I* *  qi转置 * R * qi      W= sum(qi * qi转置) = U * 对角矩阵 * V转置   奇异值分解      R= U * V转置 * *  【2】 非线性优化方法*  ei = pi -exp(f) * pi'  = P - P‘ 李代数形式 的 变换矩阵 对误差求导 得到 迭代优化 梯度*   * 3×6的雅克比矩阵  误差  对应的 导数  优化变量更新 增量* e 对 ∇f的导数  = P'对∇f的偏导数
*  P'对∇f的偏导数 = [ I  -P'叉乘矩阵] 3*6大小   平移在前  旋转在后
*  = [ 1 0  0  0   Z'   -Y' 
*      0 1  0  -Z' 0    X'
*      0 0  1  Y' -X   0]
* 旋转在前  平移在后
*  = [   0   Z'  -Y' 1 0  0 
*        -Z' 0    X' 0 1  0 
*        Y'  -X   0  0 0  1]
* 
* J = - P'对∇f的偏导数
*  = [   0   -Z'   Y'  -1  0  0 
*        Z'   0    -X'  0 -1  0 
*        -Y'  X’    0   0  0 -1]*/#include <iostream>
// opencv
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/features2d/features2d.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/calib3d/calib3d.hpp>
// Eigen3 矩阵
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/SVD>
// 非线性优化算法  图优化 G2O
#include <g2o/core/base_vertex.h>//顶点
#include <g2o/core/base_unary_edge.h>//边
#include <g2o/core/block_solver.h>//矩阵块 分解 求解器  矩阵空间 映射  分解
#include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>//高斯牛顿法
#include <g2o/solvers/eigen/linear_solver_eigen.h>// 矩阵优化
#include <g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h>// 定义好的顶点类型 和 误差 变量更新算法  6维度 优化变量  例如 相机 位姿
#include <chrono>//算法计时using namespace std;//标准库　命名空间
using namespace cv; //opencv库命名空间//特征匹配 计算匹配点对
void find_feature_matches (const Mat& img_1, const Mat& img_2,std::vector<KeyPoint>& keypoints_1,std::vector<KeyPoint>& keypoints_2,std::vector< DMatch >& matches );// 像素坐标转相机归一化坐标
Point2d pixel2cam ( const Point2d& p, const Mat& K );//ICP求解 3D- 3D 点对 求解 R T 使用 线性代数SVD奇异值分解
void pose_estimation_3d3d (const vector<Point3f>& pts1,//3Dconst vector<Point3f>& pts2,//3DMat& R, Mat& t//求解得到的 旋转矩阵 和 平移矩阵
);//g2o_BundleAdjustment 优化   计算旋转和平移
//ICP算法求解3D-3D点对的 转换矩阵后使用  图优化 进行优化
void bundleAdjustment (const vector< Point3f >& pts1,//3D点const vector< Point3f >& pts2,//3D点Mat& R, Mat& t//初始R T 以及优化更新后 的 量
);// 需自定义 边类型  误差项g2o edge
// 误差模型—— 曲线模型的边, 模板参数：观测值维度(输入的参数维度)，类型，连接顶点类型(优化变量系统定义好的顶点 或者自定义的顶点)
// 3D点—3D点的边
class EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly : public g2o::BaseUnaryEdge<3, Eigen::Vector3d, g2o::VertexSE3Expmap>//基础一元 边类型
{
public:EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;// 类成员 有Eigen  变量时需要 显示 加此句话 宏定义EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( const Eigen::Vector3d& point ) : _point(point) {}//直接赋值  观测值  3D点// 误差计算virtual void computeError(){const g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<const g2o::VertexSE3Expmap*> ( _vertices[0] );//0号顶点为 位姿    类型强转// measurement is p, point is p'_error = _measurement - pose->estimate().map( _point );//对观测点 进行 变换 后 与测量值做差 得到 误差}// 3d-3d自定义求解器 virtual void linearizeOplus(){g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<g2o::VertexSE3Expmap *>(_vertices[0]);//0号顶点为 位姿    类型强转g2o::SE3Quat T(pose->estimate());//得到 变换矩阵Eigen::Vector3d xyz_trans = T.map(_point);//对点进行变换double x = xyz_trans[0];//变换后的 x  y  zdouble y = xyz_trans[1];double z = xyz_trans[2];// 3×6的雅克比矩阵  误差  对应的 导数  优化变量更新 增量/**  P'对∇f的偏导数 = [ I  -P'叉乘矩阵] 3*6大小   平移在前  旋转在后*  = [ 1 0  0   0   Z'   -Y' *       0 1  0  -Z'  0    X'*       0 0  1  Y'   -X   0]* 旋转在前  平移在后*  = [   0   Z'   -Y' 1 0  0 *        -Z'  0    X'  0 1  0 *         Y'   -X   0  0 0  1]* * J = - P'对∇f的偏导数*  = [   0   -Z'   Y'  -1  0  0 *         Z'   0    -X'  0 -1  0 *         -Y'  X’    0   0  0 -1]*/_jacobianOplusXi(0,0) = 0;_jacobianOplusXi(0,1) = -z;_jacobianOplusXi(0,2) = y;_jacobianOplusXi(0,3) = -1;_jacobianOplusXi(0,4) = 0;_jacobianOplusXi(0,5) = 0;_jacobianOplusXi(1,0) = z;_jacobianOplusXi(1,1) = 0;_jacobianOplusXi(1,2) = -x;_jacobianOplusXi(1,3) = 0;_jacobianOplusXi(1,4) = -1;_jacobianOplusXi(1,5) = 0;_jacobianOplusXi(2,0) = -y;_jacobianOplusXi(2,1) = x;_jacobianOplusXi(2,2) = 0;_jacobianOplusXi(2,3) = 0;_jacobianOplusXi(2,4) = 0;_jacobianOplusXi(2,5) = -1;}bool read ( istream& in ) {}bool write ( ostream& out ) const {}protected:Eigen::Vector3d _point;
};int main ( int argc, char** argv )
{if ( argc != 5 ){cout<<"用法: 。、pose_estimation_3d3d img1 img2 depth1 depth2"<<endl;return 1;}//-- 读取图像Mat img_1 = imread ( argv[1], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );//彩色Mat img_2 = imread ( argv[2], CV_LOAD_IMAGE_COLOR );// 关键点 匹配点对vector<KeyPoint> keypoints_1, keypoints_2;//关键点vector<DMatch> matches;//匹配点对find_feature_matches ( img_1, img_2, keypoints_1, keypoints_2, matches );cout<<"一共找到了"<<matches.size() <<"组匹配点"<<endl;// 利用深度信息 对二位点对建立3D点对Mat depth1 = imread ( argv[3], CV_LOAD_IMAGE_UNCHANGED );       // 深度图为16位无符号数，单通道图像Mat depth2 = imread ( argv[4], CV_LOAD_IMAGE_UNCHANGED );       // 深度图为16位无符号数，单通道图像Mat K = ( Mat_<double> ( 3,3 ) << 520.9, 0, 325.1, 0, 521.0, 249.7, 0, 0, 1 );// 相机内参,TUM Freiburg2vector<Point3f> pts1, pts2;for ( DMatch m:matches ){//深度ushort d1 = depth1.ptr<unsigned short> ( int ( keypoints_1[m.queryIdx].pt.y ) ) [ int ( keypoints_1[m.queryIdx].pt.x ) ];ushort d2 = depth2.ptr<unsigned short> ( int ( keypoints_2[m.trainIdx].pt.y ) ) [ int ( keypoints_2[m.trainIdx].pt.x ) ];if ( d1==0 || d2==0 )   // bad depthcontinue;Point2d p1 = pixel2cam ( keypoints_1[m.queryIdx].pt, K );//像素点转换成 相机坐标系下点Point2d p2 = pixel2cam ( keypoints_2[m.trainIdx].pt, K );//(x,y,1) 归一化坐标平面上的点float dd1 = float ( d1 ) /1000.0;//深度 尺度   原来单位为mm 变成 mfloat dd2 = float ( d2 ) /1000.0;//3D点pts1.push_back ( Point3f ( p1.x*dd1, p1.y*dd1, dd1 ) );//得到三维点pts2.push_back ( Point3f ( p2.x*dd2, p2.y*dd2, dd2 ) );}cout<<"3d-3d 点对数量: "<<pts1.size() <<endl;Mat R, t;cout<<"3d-3d 点对利用线性代数SVD奇异值分解求解变换矩阵"<<endl;
/*  (1) 计算两组 点集的质心位置 p  、 p‘ ，然后计算每个点的去质心坐标 qi = pi - p    qi’ = pi' - p‘*  (2)  min(sum(qi - R * qi')^2)  >>> 得到 旋转矩阵R    *  (3)  有R计算 t   t =  p - R * p'* * (qi - R * qi')^2 = qi转置 * qi   - 2*qi‘转置 * R * qi  + qi‘转置 * R转置* R * qi’ 第一项与R无关 第三项 应为  R转置* R = I* *  qi转置 * R * qi      W= sum(qi * qi’转置) = U * 对角矩阵 * V转置   奇异值分解      R= U * V转置 *   t =  p - R * p'*/pose_estimation_3d3d ( pts1, pts2, R, t );cout<<"迭代最近点 ICP 通过 SVD 分解: "<<endl;cout<<"2-1 旋转矩阵 R = "<<R<<endl;//第二张图到第一张图的转换cout<<"平移矩阵 t = "<<t<<endl;cout<<"1-2 旋转矩阵 R_inv = "<<R.t() <<endl;//第一张图到第二张图的转换cout<<"t_inv = "<<-R.t() *t<<endl;cout<<"非线性优化方法  bundle adjustment 求解"<<endl;bundleAdjustment( pts1, pts2, R, t );// 验证 verify p1 = R*p2 + tfor ( int i=0; i<5; i++ ){cout<<"p1 = "<<pts1[i]<<endl;cout<<"p2 = "<<pts2[i]<<endl;cout<<"(R*p2+t) = "<< R * (Mat_<double>(3,1)<<pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z) + t<<endl;cout<<endl;}
}// 计算特征点 找到匹配点对
void find_feature_matches ( const Mat& img_1, const Mat& img_2,std::vector<KeyPoint>& keypoints_1,std::vector<KeyPoint>& keypoints_2,std::vector< DMatch >& matches )
{//-- 初始化Mat descriptors_1, descriptors_2;// used in OpenCV3 Ptr<FeatureDetector> detector = ORB::create();Ptr<DescriptorExtractor> descriptor = ORB::create();// use this if you are in OpenCV2 // Ptr<FeatureDetector> detector = FeatureDetector::create ( "ORB" );// Ptr<DescriptorExtractor> descriptor = DescriptorExtractor::create ( "ORB" );Ptr<DescriptorMatcher> matcher  = DescriptorMatcher::create("BruteForce-Hamming");//-- 第一步:检测 Oriented FAST 角点位置detector->detect ( img_1,keypoints_1 );detector->detect ( img_2,keypoints_2 );//-- 第二步:根据角点位置计算 BRIEF 描述子descriptor->compute ( img_1, keypoints_1, descriptors_1 );descriptor->compute ( img_2, keypoints_2, descriptors_2 );//-- 第三步:对两幅图像中的BRIEF描述子进行匹配，使用 Hamming 距离vector<DMatch> match;// BFMatcher matcher ( NORM_HAMMING );matcher->match ( descriptors_1, descriptors_2, match );//-- 第四步:匹配点对筛选double min_dist=10000, max_dist=0;//找出所有匹配之间的最小距离和最大距离, 即是最相似的和最不相似的两组点之间的距离for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ ){double dist = match[i].distance;if ( dist < min_dist ) min_dist = dist;if ( dist > max_dist ) max_dist = dist;}printf ( "-- Max dist : %f \n", max_dist );printf ( "-- Min dist : %f \n", min_dist );//当描述子之间的距离大于两倍的最小距离时,即认为匹配有误.但有时候最小距离会非常小,设置一个经验值30作为下限.for ( int i = 0; i < descriptors_1.rows; i++ ){if ( match[i].distance <= max ( 2*min_dist, 30.0 ) ){matches.push_back ( match[i] );}}
}// 像素坐标变换到 相机 归一化平面上 u，v --->>>  (x,y,1)
Point2d pixel2cam ( const Point2d& p, const Mat& K )
{return Point2d(( p.x - K.at<double> ( 0,2 ) ) / K.at<double> ( 0,0 ),( p.y - K.at<double> ( 1,2 ) ) / K.at<double> ( 1,1 ));
}// 【1】 线性代数求解  SVD奇异值分解方法
/*  (1) 计算两组 点集的质心位置 p  、 p‘ ，然后计算每个点的去质心坐标 qi = pi - p    qi’ = pi' - p‘*  (2)  min(sum(qi - R * qi')^2)  >>> 得到 旋转矩阵R    *  (3)  有R计算 t   t =  p - R * p'* * (qi - R * qi')^2 = qi转置 * qi   - 2*qi‘转置 * R * qi  + qi‘转置 * R转置* R * qi’ 第一项与R无关 第三项 应为  R转置* R = I* *  qi转置 * R * qi      W= sum(qi * qi’转置) = U * 对角矩阵 * V转置   奇异值分解      R= U * V转置 *   t =  p - R * p'*/
void pose_estimation_3d3d (const vector<Point3f>& pts1,//3D点容器const vector<Point3f>& pts2,Mat& R, Mat& t
)
{//【1】 求中心点Point3f p1, p2;     //三维点集的中心点  center of massint N = pts1.size(); //点对数量for ( int i=0; i<N; i++ ){p1 += pts1[i];//各维度求和p2 += pts2[i];}p1 = Point3f( Vec3f(p1) /  N);//求均值 得到中心点p2 = Point3f( Vec3f(p2) / N);// 【2】得到去中心坐标vector<Point3f>     q1 ( N ), q2 ( N ); // remove the centerfor ( int i=0; i<N; i++ ){q1[i] = pts1[i] - p1;q2[i] = pts2[i] - p2;}// 【3】计算需要进行奇异值分解的 W = sum(qi * qi’转置) compute q1*q2^TEigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();for ( int i=0; i<N; i++ ){W += Eigen::Vector3d ( q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z ) * Eigen::Vector3d ( q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z ).transpose();}cout<<"W="<<W<<endl;// 【4】对  W 进行SVD 奇异值分解Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd ( W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV );Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();cout<<"U="<<U<<endl;cout<<"V="<<V<<endl;// 【5】计算旋转 和平移矩阵 R  和 t //  R= U * V转置 Eigen::Matrix3d R_ = U* ( V.transpose() );// t =  p - R * p'Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d ( p1.x, p1.y, p1.z ) - R_ * Eigen::Vector3d ( p2.x, p2.y, p2.z );// 【6】格式转换 convert to cv::MatR = ( Mat_<double> ( 3,3 ) <<R_ ( 0,0 ), R_ ( 0,1 ), R_ ( 0,2 ),R_ ( 1,0 ), R_ ( 1,1 ), R_ ( 1,2 ),R_ ( 2,0 ), R_ ( 2,1 ), R_ ( 2,2 ));t = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << t_ ( 0,0 ), t_ ( 1,0 ), t_ ( 2,0 ) );
}void bundleAdjustment (const vector< Point3f >& pts1,const vector< Point3f >& pts2,Mat& R, Mat& t )
{// 初始化g2otypedef g2o::BlockSolver< g2o::BlockSolverTraits<6,3> > Block;  // pose维度为 6, landmark 维度为 3Block::LinearSolverType* linearSolver = new g2o::LinearSolverEigen<Block::PoseMatrixType>(); // 线性方程求解器Block* solver_ptr = new Block( linearSolver );      // 矩阵块求解器 矩阵分解g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );g2o::SparseOptimizer optimizer;optimizer.setAlgorithm( solver );// 顶点 vertexg2o::VertexSE3Expmap* pose = new g2o::VertexSE3Expmap(); //位姿 camera posepose->setId(0);pose->setEstimate( g2o::SE3Quat(Eigen::Matrix3d::Identity(),Eigen::Vector3d( 0,0,0 )) );optimizer.addVertex( pose );//添加顶点// 边 edgesint index = 1;vector<EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly*> edges;//所有的 边for ( size_t i=0; i<pts1.size(); i++ ){EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly* edge = new EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( Eigen::Vector3d(pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z) );//点2edge->setId( index );edge->setVertex( 0, dynamic_cast<g2o::VertexSE3Expmap*> (pose) );//顶点edge->setMeasurement( Eigen::Vector3d( pts1[i].x, pts1[i].y, pts1[i].z) );// 点1 = T * 点2 = 点1'edge->setInformation( Eigen::Matrix3d::Identity()*1e4 );//误差项系数矩阵  信息矩阵optimizer.addEdge(edge);//向图中添加边index++;edges.push_back(edge);//所有的边}chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();//计时开始optimizer.setVerbose( true );optimizer.initializeOptimization();optimizer.optimize(10);// 最大优化次数为10chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();//计时结束chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2-t1);cout<<"optimization costs time: "<<time_used.count()<<" seconds."<<endl;cout<<endl<<"优化后的 R t :"<<endl;cout<<"变换矩阵 T = "<<endl<<Eigen::Isometry3d( pose->estimate() ).matrix()<<endl;}