2024年5月11日发(作者：dnf多玩论坛补丁)

第五章 图

第十七讲 图的遍历

1．

掌握图的两种遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索算法，

2．

求解连通性问题的方法

。

 教学重点：

图的两种遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索算法

 教学难点：

图的两种遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索算法

 授课内容

5.3 图的遍历

和树的遍历类似，在此，我们希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个

顶点仅被访问一次。这一过程就叫做图的遍历(TraversingGraph)。图的遍历算法是求解图

的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。

然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多。因为图的任一顶点都可能和其余的顶点相邻接。

所以在访问了某个顶点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。[例如]图7.1(b)

中的G2，由于图中存在回路，因此在访问了v1,v2,v3,v4之后，沿着边(v4 , v1)又可访问

到v1。为了避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中，必须记下每个已访问过的顶点。

为此，我们可以设一个辅助数组-1]，它的初始值置为“假”或者零，一旦访

问了顶点vi，便置visited[i]为“真”或者为被访问时的次序号。

通常有两条遍历图的路径：深度优先搜索和广度优先搜索。它们对无向图和有向图都

适用。

5.3.1 深度优先搜索

深度优先搜索(Depth-First Search)遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推

广。

其基本思想如下：假定以图中某个顶点vi为出发点，首先访问出发点，然后选择一个

vi的未访问过的邻接点vj，以vj为新的出发点继续进行深度优先搜索，直至图中所有顶点

都被访问过。显然，这是一个递归的搜索过程。

第五章 图

现以图5-3-1中G为例说明深度优先搜索过程。假定v0是出发点，首先访问v0。因v0

有两个邻接点v1、v2均末被访问过，可以选择v1作为新的出发点，访问v1之后，再找v1

的末访问过的邻接点。同v1邻接的有v0、v3和v4，其中v0已被访问过，而v3、v4尚未

被访问过，可以选择v3作为新的出发点。重复上述搜索过程，继续依次访问v7、v4 。访

问v4之后，由于与v4相邻的顶点均已被访问过，搜索退回到v7。由于v7、v3和v1都是

没有末被访问的邻接点，所以搜索过程连续地从v7退回到v3，再退回v1，最后退回到v0。

这时再选择v0的末被访问过的邻接点v2，继续往下搜索，依次访问v2、v5和v6，止此图

中全部顶点均被访问过。遍历过程见图5-3-1（b），得到的顶点的访问序列为：v0 → v1 →

v3 → v7 → v4 → v2 → v5 → v7。

（a）无向图G (b) G的深度优先搜索过程

图5-3-1 深度优先搜索遍历过程示例

因为深度优先搜索遍历是递归定义的，故容易写出其递归算法。下面的算法5.3是以

邻接矩阵作为图的存储结构下的深度优先搜索遍历算法；算法5.4是以邻接表作为图的存储

结构下的深度优先搜索遍历算法。

算法5.3

int visited[NAX_VEX]={0};

void Dfs_m( Mgraph *G,int i){

/* 从第i个顶点出发深度优先遍历图G，G以邻接矩阵表示*/

printf("%3c",G->vexs[i]);

visited[i]=1;

for (j=0;j

if((G->arcs[i][j]==1)&& (!visited[j]))

Dfs_m(G,j);

} /*Dfs_m */

算法5.4

int visited[VEX_NUM]={0};

void Dfs_L(ALgraph G,int i){

/* 从第i个顶点出发深度优先遍历图G，G以邻接表表示 */

printf("%3c",G[i].data);

visited[i]=1;

p=G[i].firstarc;

while (p!=NULL)

{ if(visited[p->adjvex]==0)

第五章 图

Dfs_L(G,p->adjvex);

p=p->nextarc;

}

} /*dfs_L*/

分析上述算法得知，遍历图的过程实质上是对每个顶点搜索其邻接点的过程。其耗费的

时间取决于所采用的存储结构。假设图有>n个顶点，那么，当用邻接矩阵表示图时，搜索

一个顶点的所有邻接点需花费的时间为>O(n)，则从>n个顶点出发搜索的时间应为>O(n2)，

所以算法>5.1的时间复杂度是>O(n2)；如果使用邻接表来表示图时，需花费时间为>O（n+e)，

其中>e为无向图中边的数目或有向图中弧的数目。算法>5.4的时间复杂度为>O（n+e)。

5.3.2 广度优先搜索

连通图的广度优先搜索(Breadth_FirstSearch)遍历图类似于树的按层次遍历。其基本

思想是：首先访问图中某指定的起始点Vi并将其标记为已访问过，然后由Vi出发访问与它

相邻接的所有顶点Vj、 Vk„„，并均标记为已访问过，然后再按照Vj、Vk„„的次序，访

问每一个顶点的所有未被访问过的邻接顶点，并均标记为已访问过，下一步再从这些顶点出

发访问与它们相邻接的尚未被访问的顶点，如此做下去，直到所有的顶点均被访问过为止。

在广度优先搜索中，若对顶点V1的访问先于顶点V2的访问，则对V1邻接顶点的访问

也先于V2邻接顶点的访问。就是说广度优先搜索中对邻接点的寻找具有“先进先出”的特

性。因此，为了保证访问顶点的这种先后关系，需借助一个队列暂存那些刚访问过的顶点。

[例如]，下面以图5-3-1种G为例说明广度优先搜索的过程。假设从起点v0出

发，那么首先访问vo和行动两个未访问的邻接点v1和v2；然后依次访问v1的邻接点v3

和v4以及v2的邻接点v5和v6；最后访问v3的未曾访问的邻接点v7。此图中所有顶点均

已被访问过，由此完成了图的遍历。遍历过程见图5-3-2，得到的顶点访问序列为：

v0→v1→v2→v3→v4→v5→v6→v7

在广度优先搜索中，若顶点v在顶点u之前访问，则v的邻接点也将在u的邻接点之前

访问。由此，可采用对列qu来暂存那些刚访问过并且可能还有未访问的邻接点的顶点。

v0

V

1

V

2

V3 V4

V

5

V

6

V

7

图5－3－2 广度优先搜索遍历过程

算法5.5

int visited[VEX_NUM]={0};

void Bfs(Mgraph G,int k){

int qu[20],f=0,r=0;

第五章 图

printf(“%3c”,[k]);

visited[k]=1;

r++;qu[r]=k;

while (r!=f)

{ f++;i=qu[f];

for(j=p;j

if(G->arcs[i][j]==1&&(!visitec[j])){

printf(“%3c”,[j]);

visited[j]=I;

r++;qu[r]=j;

}

}

} /*Bfs*/

分析上述算法，一个有n个顶点、e条边的图，在广度优先搜索图的过程中，每个顶点至

多进一次队列，所以算法中的内外循环次数均为n次，故算法Bfs的时间复杂度为O（n2）；

若采用邻接链表存储结构，广度优先搜索遍历图的时间复杂度与深度优先搜索是相同的。

5.5.3 求图的连通分量

求图的连通分量是图的遍历的一种简单应用。当无向图是连通图是，只需要调用一次

Dfs（或Bfs）算法，便可访问图中的所有顶点。但无向图是非连通图时，从图中某顶点V

出发遍历图，不能访问到图的所有顶点，而只能访问到包含V所在的最大连通子图（连通分

量）中的所有顶点。若从非连通图中每一个连通分量中的一个顶点出发遍历图，则可求出无

向图的所有连通分量。

为了求得非连通图的所有的连通分量，只需要调用Dfs或Bfs，并对图中每个顶点进行

检测。若某顶点已被访问，则该顶点落在图中已求得的连通分量上；若某顶点未被访问，则

从该顶点出发遍历图，便可求得图的另已连通分量，调用Dfs或Bfs的次数就是连通分量的

个数。下面以临界矩阵为存储结构，给出通过深度优先搜索算法实现求非连通图的连通分量

的算法。

算法5.6

Int visited[vex_num]={0}

Void component(mgraph g){

/*求图的连通分量，G以邻接矩阵表示*/

Count=0; /*统计连通分量的个数*/

For(j=0;j

If(!visited[j]){

Count++;

Printf(“n第%d个连通分量是：”,count);

Dfs_m(g,j); /*从Vj出发遍历一个连通分量*/

}

Printf(“n共有%d个连通分量。n”,count);

} /*conpont*/

如对图5-1-5中（a）所示的非连通图G3执行算法Conponent,可得到以下输出结果：

第五章 图

第1个连通分量是：V0 V1 V4 V5

第2个连通分量是：V2 V3

共有2个连通分量。