2024年5月25日发(作者：)

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结

在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是一个重要的考点，掌

握好这些概念对于解决数学问题有非常大的帮助。在这篇文章中，

我们将对函数奇偶性与周期性进行总结，并提供一些实例，以帮

助读者更好地理解这些概念。

函数的奇偶性

函数的奇偶性是指函数值的对称性质。如果函数在自变量取相

反数的情况下，函数值不变，那么该函数为偶函数；如果函数在

自变量取相反数的情况下，函数值变为相反数，那么该函数为奇

函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值既不变也不

变为相反数，那么该函数既不是偶函数也不是奇函数。

举个例子，我们来看一下函数 $y=x^2$ 。当自变量取相反数时，

函数值不变，即 $y=(-x)^2=x^2$ ，因此它是偶函数。再来看一下

函数 $y=x^3$ ，当自变量取相反数时，函数值变为相反数，即

$y=-x^3$ ，因此它是奇函数。最后，我们来看一下函数

$y=x^2+1$ ，当自变量取相反数时，函数值既不变也不变为相反

数，因此它既不是偶函数也不是奇函数。

我们利用函数的奇偶性可以快速求出某些函数的积分、导数和

方程的根。例如，对于偶函数，它的图像在 $y$ 轴上具有对称性，

因此它在 $(-a,a)$ 内积分的值与 $(-a,a)$ 之外积分的值相等；对于

奇函数，它的图像在原点具有对称性，因此在 $(-a,a)$ 内积分的值

为 $0$ 。类似地，对于偶函数，它在 $x=0$ 的导数为 $0$ ；对于

奇函数，在 $x=0$ 的导数为非 $0$ 常数。

函数的周期性

函数的周期性是指函数图像在一个固定的距离上重复出现。一

个具有周期 $T$ （$T$ 为正实数）的函数 $y=f(x)$ 满足

$f(x+T)=f(x)$ ，即在自变量增加 $T$ 时，函数值不变。

我们分以下几种情况来讨论函数的周期性。

1. 正弦函数与余弦函数

正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数，它们的周期都是

$2pi$ 。例如， $y=sin x$ 和 $y=cos x$ 周期都是 $2pi$ 。我们可

以通过下面的公式来证明：当 $xin[0,2pi]$ 时， $sin(x+2pi)=sin

x$ ， $cos(x+2pi)=cos x$ 。因此，正弦函数和余弦函数都是以

$2pi$ 为周期的。

2. 周期为 $T$ 的函数（$T$ 为常数）

一个函数如果满足 $f(x+T)=f(x)$ ，那么它就是周期为 $T$ 的函

数。例如， $y=sinfrac{1}{2}x$ 周期为 $4pi$ ，因为

$sinfrac{1}{2}(x+4pi)=sinfrac{1}{2}x$ ； $y=tan x$ 周期为

$pi$ ，因为 $tan(x+pi)=tan x$ 。

3. 指数函数和对数函数

指数函数和对数函数也是一些周期函数。例如， $y=e^x$ 的周

期为 $2pi i$ （$i$ 为任意整数），因为 $e^{x+2pi i}=e^x$ ；

$y=ln x$ 的周期为 $e^{2pi i}$ 。

函数的奇偶性和周期性也可以同时存在。例如， $y=sin x$ 是

奇函数，同时也是以 $2pi$ 为周期的函数。

总结

在高考数学中，函数的奇偶性和周期性是常见的考点。掌握这

些概念可以帮助我们更好地理解各种函数，并且在解决数学问题

时更加得心应手。需要注意的是，有些函数既不是奇函数也不是

偶函数，同时也没有周期，因此我们需要根据函数的具体形式来

判断它的性质。